Через точку провести плоскость перпендикулярную прямой

Через точку провести плоскость перпендикулярную прямой

Задача 1. Через точку А провести плоскость Q, параллельную заданной плоскости Р.

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Если плоскость задана пересекающимися прямыми (рис. 4.17), то решение задачи сводится к проведению через точку А пары прямых, параллельных заданным.

Если плоскость задана следами (4.18), то построение может быть выполнено по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим, например, горизонталь искомой плоскости Q, параллельную горизонталям заданной плоскости Р.

2. Через эту горизонталь проводим искомую плоскость параллельно заданной. Фронтальный след QV проводим через фронтальную проекцию п’ фронтального следа горизонтали параллельно следу PV ; горизонтальный след QH — через точку QХ параллельно следу РН.

Задача 2. Через точку А (а, а’) провести плоскость Q, перпендикулярную к прямой (рис. 4.19).

а) Требуется показать искомую плоскость пересекающимися прямыми. В этом случае наиболее просто построить плоскость Q главными линиями — горизонталью и фронталью, проходящими через точку А (а, а’).

Рис. 4.19 Рис. 4.20

б) Требуется показать искомую плоскость следами. Построение может быть выполнено по следующему алгоритму. Через точку А проводим горизонталь плоскости Q перпендикулярно к отрезку ВС. Затем через эту горизонталь проводим искомую плоскость перпендикулярно к прямой ВС. Фронтальный след QV проводим через фронтальную проекцию п’ фронтального следа горизонтали перпендикулярно b’с′; горизонтальный след QH — через точку QХ перпендикулярно к bс.

Задача 3. Через точку А (а, а’) провести плоскость Q, перпендикулярную к заданной плоскости Р и проходящую через точку схода следов QХ на оси X (рис. 4.20).

Известно, что плоскость Q будет перпендикулярна к заданной плоскости Р, если она проходит через перпендикуляр к ней или перпендикулярно к линии, лежащей в плоскости Р.

На рис. 4.20 решение задачи выполнено по плану, использующему первое из этих условий:

1. Через заданную точку А проведен перпендикуляр к плоскости Р (am+PH,, a′m′+PV).

2. Через этот перпендикуляр и заданную точку QX проведена искомая плоскость Q. При этом след QН проведен через горизонтальную проекцию т горизонтального следа перпендикуляра и точку QX; след QV — через фронтальную проекцию п′ фронтального следа перпендикуляра и точку QX.

Искомую плоскость можно было бы построить и пересекающимися прямыми, если через точку QX провести какую-либо прямую, имеющую общую точку с перпендикуляром.

Задача 4. Через точку А (а, а’)провести прямую, перпендикулярную к прямой ВС.

Искомый перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой ВС.

Поэтому задача может быть решена по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим плоскость Q, перпендикулярную к прямой ВС.

2. Определяем точку К (k, k’) пересечения прямой ВС с плоскостью Q при помощи горизонтально-проецирующей плоскости S.

3. Соединяем точки А и К.

На эпюре, решая задачу по этому алгоритму, можно плоскость показать двумя пересекающимися главными линиями (h×f) (рис. 4.21) или следами (рис. 4.22).

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей ABC и DEF.

Эту задачу можно решать с использованием задачи на пересечение прямой с плоскостью. На рис. 4.23 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника ABC.

Например, чтобы найти точку М пересечения стороны DF с плоскостью ABC, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой I II. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М. Затем находят фронтальную проекцию m‘ точки М. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью ABC находят, используя фронтально-проецирующую плоскость Q, которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой III IV. На пересечении горизонтальных проекций ef и 34 получают горизонтальную проекцию n искомой точки N.

Соединив попарно точки m‘ и n‘, m и n, получают проекции линии пересечения MN плоскостей ABC и DEF.

Видимость частей отрезков плоскостей устанавливается способом конкурирующих точек.

Читайте также:  Ошибка msvcr100 dll что делать windows 7

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 11387 — | 7615 — или читать все.

УСЛОВИЕ:

Через точку D провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной треугольником АВС.

РЕШЕНИЕ:

Через точку D провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной треугольником АВС.

Плоскость (n,m) перпендикулярна плоскость АВС если прямая n перпендикулярна плоскости АВС, а прямая m — произвольная прямая.

Через точку D проведем прямую n перпендикулярную АВС — n1 перпендикулярна h1, а n2 перпендикулярна f2 на основании теоремы о проецировании прямого угла.

Прямая m -произвольная прямая проходящая через точку D.

Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми n и m перпендикулярна АВС.

Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными графическими операциями при решении метрических задач.

Теоретической предпосылкой для построения на эпюре Монжа проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит отмеченное раньше (см. § 6) свойство

проекции прямого угла, одна из сторон которого параллельна какой-либо плоскости проекции:

1. Взаимно перпендикулярные прямые.

Чтобы можно было воспользоваться отмеченным свойством для построения на эпюре Монжа двух пересекающихся под углом 90° прямых, необходимо, чтобы одна из них была параллельна какой-либо плоскости проекции. Поясним сказанное на примерах.

ПРИМЕР 1. Через точку А провести прямую l, пересекающую горизонталь h под прямым углом (рис. 249).

Так как одна из сторон h прямого угла параллельна плоскости π1 , то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через А’ проводим горизонтальную проекцию l’ ⊥ h’. Отмечаем точку М’ = l’ ∩ h’. Находим М" (М" ∈ h"). Точки А" и М" определяют l" (см. рис. 249, а).

Если вместо горизонтали будет задана фронталь f, то геометрические построения по проведению прямой l ⊥ f аналогичны только что рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (см. рис. 249, б).

ПРИМЕР 2. Через точку А провести прямую l , пересекающую прямую а , заданную отрезком [ВС], под углом 90° (рис. 250).

Так как данный отрезок занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, мы не можем, как в предыдущем примере, воспользоваться свойством о частном случае проецирования прямого угла, поэтому вначале необходимо [ВС] перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.

На рис. 250 [ВС] переведен в положение, параллельное плоскости π3. Это сделано с помощью способа замены плоскостей проекции путем замены плоскости π1 → π3 || [ВС].

В результате такой замены в новой системе x1π23 [ВС] определяет горизонтальную прямую, поэтому все дальнейшие простроения выполнены так же, как это было сделано в предыдущем примере: после того, как была найдена точка М’1, ее перевели на исходные плоскости проекции в положение М" и М’, эти точки совместно с А" и А’ определяют проекции прямой l.

ПРИМЕР 3. Провести горизонтальную проекцию стороны [ВС] прямого угла АВС, если известны его фронтальная проекция ∠A"B"C" и горйзонтапьная проекция стороны [А’В’] (рис. 251).

Читайте также:  Как настроить почту mail на macbook

1. Переводим сторону угла [ВА] в положение || π3 путем перехода от системы плоскостей проекции хπ21 к новой x1π32

2. Определяем новую фронтальную проекцию [B"1A"1].

Из В"1 восставляем перпендикуляр к [В"1A"1]. На этом перпендикуляре определяем точку С"1 (С"1 удалена от оси x1 на расстояние |Сx1 С"1| = |СxС"|).

4. Горизонтальная проекция С’ определяется как точка пересечения прямых (С"1Сx1) ∩ (С"Сx) = С’.

2. Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость.

Из курса стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то открывается возможность воспользоваться свойством проекции прямого угла, как это было сделано в примере 1, рис. 249.

Рассмотрим следующий пример; пусть из точки A ∈ α требуется восставить перпендикуляр к плоскости α (рис. 252).

Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f плоскости α. Тогда, по определению (АВ), перпендикулярная к плоскости α, должна быть перпендикулярна к прямым h и f, т. е. . Но сторона AM ∠ ВАМ || π1, поэтому ∠ВАМ проецируется на плоскость π1, без искажения, т. е.. Сторона АК ∠ ВАК || π2 и, следовательно, на плоскость π2 этот угол проецируется также без искажения, т. е. и . Приведенные рассуждения можно сформулировать в виде следующей теоремы: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Если плоскость задана следами, то теорема может быть сформулирована иначе: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции этой прямой были перпендикулярны к одноименным следам плоскости.

Установленные теоремой зависимости между прямой в пространстве, перпендикулярной к плоскости, и проекциями этой прямой к проекциям линий уровня (следам) плоскости лежат в основе графического алгоритма решения задачи по проведению прямой, перпендикулярной к плоскости, а также построения плоскости, перпендикулярной к заданной прямой.

ПРИМЕР 1. Восставить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости ΔАВС (рис. 253).

Для того чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали f плоскости ΔАВС. После этого из точки А’ восставляем перпендикуляр к h’, а из А" — к f’.

ПРИМЕР 2. Из точки А, принадлежащей плоскости α (m || n), восставить перпендикуляр к этой плоскости (рис. 254).

РЕШЕНИЕ. Для определения направления проекций перпендикуляра l’ и l", как и в предыдущем примере, проводим через точку А (А’,А") горизонталь h(h’, h"), принадлежащую плоскости α. Зная направление h’, строим горизонтальную проекцию перпендикуляра l’ (l’ ⊥ h’). Для определения направления фронтальной проекции перпендикуляра через точку А (А’, А") проводим фронталь f (f’, f") плоскости α. В силу параллельности f фронтальной плоскости проекции прямой угол между l и f проецируется на π2 без искажения, поэтому проводим l" ⊥ f".

На рис. 255 эта же задача решена для случая, когда плоскость α задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра отпадает необходимость в проведении горизонтали и фрон-

тали, так как их функции выполняют следы плоскости h и f. Как видно из чертежа, решение сводится к проведению через точки А’ и А" проекций l’ ⊥ h и l" ⊥ f.

Читайте также:  Создание табличного пространства в oracle

ПРИМЕР 3. Построить плоскость γ, перпендикулярную к данной прямой l и проходящую через заданную точку А (рис. 256).

РЕШЕНИЕ. Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f. Эти две пересекающиеся прямые определяют плоскость; чтобы она была перпендикулярна к прямой l, необходимо, чтобы прямые h и f составляли с прямой l угол 90°. Для этого проводим h’ ⊥ l’ и f" ⊥ l". Фронтальная проекция h" и горизонтальная проекция f’ проводятся параллельно оси x.

Рассмотренный случай позволяет по иному решать задачу, приведенную в примере 3 (с. 175 рис. 251). Сторона [ВС] ∠АВС должна принадлежать плоскости γ ⊥ [АВ] и проходить через точку В (рис. 257).

Это условие и определяет ход решения задачи, который состоит в следующем: заключаем точку В в плоскость γ ⊥ [АВ], для этого через точку В проводим горизонталь и фронталь плоскости γ так, чтобы h’ ⊥ A’B’ и f" ⊥ A"B".

Точка С ∈ (ВС), принадлежащей плоскости γ, поэтому для нахождения ее горизонтальной проекции проводим через С" произвольную прямую 1"2", принадлежащую плоскости γ; определяем горизонтальную проекцию этой прямой 1’2′ и на ней отмечаем точку С’ (С’ определяется пересечением линии связи — перпендикуляра, опущенного из С", с горизонтальной проекцией прямой 1’2′). С’ совместно с В’ определяют горизонтальную проекцию (ВС) ⊥ (АВ).

3. Взаимно перпендикулярные плоскости..

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Исходя из определения перпендикулярности плоскостей, задачу на построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, решаем следующим путем: проводим прямую l, перпендикулярную к плоскости α; заключаем прямую l в плоскость β. Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

Через прямую l можно провести множество плоскостей, поэтому задача имеет множество решений. Чтобы конкретизировать ответ, необходимо указать дополнительные условия.

ПРИМЕР 1. Через данную прямую а провести плоскость β, перпендикулярную к плоскости α (рис. 258).

РЕШЕНИЕ. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости α, для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали (h’) и фронтальную проекцию фронтали (f") ; из проекций произвольной точки А ∈ α проводим проекции перпендикуляра l’ ⊥ h’ и l" ⊥ f". Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

ПРИМЕР 2. Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость γ, перпендикулярную к плоскости α, заданной следами (рис. 259, а).

Искомая плоскость γ должна содержать прямую, перпендикулярную плоскости α, или быть перпендикулярной к прямой, принадлежащей плоскости α. Так как плоскость γ должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, должна быть параллельна плоскости π1, т. е. являться горизонталью плоскости α или (что то же самое) горизонтальным следом этой плоскости — h Поэтому через горизок тальную проекцию точки А’ проводим горизонтальный след h ⊥ h фронтальный след f ⊥ оси х.

На рис. 259, б показана фронтально проецирующая плоскость γ, проходящая через точку В и перпендикулярная к плоскости π2.

Из чертежа видно, что отличительной особенностью эпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна — фронтально проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов f ⊥ f, горизонтальный след фронтально проецирующей плоскости перпендикулярен оси х.

Ссылка на основную публикацию
Чем отредактировать pdf файл бесплатно
Онлайн PDF редактор для изменения PDF Защищенная с помощью SSL передача файлов Автоматическое удаление файла с сервера через один час...
Функции в вольфрам математика
Функции пользователя Хотя в систему входят многие сотни встроенных функций (начиная от элементарных и кончая специальными математическими функциями и системными...
Функция abs в паскале
Возвращает абсолютную величину параметра. Объявление Function Abs(X) : (тип параметра); Режим Windows, Real, Protected Замечания Параметр X — выражение вещественного...
Чем очистить клей от корпуса телефона
На сенсорном дисплее телефона после снятия защитной пленки остались большие следы клея. Я понимаю, что не надо было экономить на...
Adblock detector