Несократимая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно-простыми числами.
То есть единственным общим делителем числителя и знаменателя несократимой дроби является единица.
Делители числителя: 1; 5
Делители знаменателя: 1 ; 2; 3; 4; 6; 12.
НОД (5; 12) =1, следовательно, 5 и 12 — взаимно-простые числа. Поэтому дробь
Делители числителя: 1 ; 2; 4; 8; 16.
Делители знаменателя: 1 ; 3; 7; 21.
Наибольший (и единственный) общий делитель числителя и знаменателя — единица. Значит, числитель и знаменатель — взаимно-простые числа. Поэтому данная дробь — несократимая.
Согласно основному свойству дроби, дробь не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, отличное от нуля:
— две различные записи одного и того же числа.
В математике принято ответ записывать в виде несократимой дроби. То есть если числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, необходимо это сделать, иначе ответ не считается правильным.
Вот почему столь важно уметь определять, является ли дробь несократимой.
Как определить, является ли дробь несократимой?
1) Можно разложить числитель и знаменатель на простые множители и найти наибольший общий делитель. Если он равен 1, дробь несократима.
— несократимая дробь, поскольку наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен единице и 544 и 945 — взаимно-простые числа.
2) Если числитель и знаменатель — простые числа, то они являются взаимно-простыми, а дробь, соответственно, — несократимой.
несократима, так как 491 и 769 — простые числа (проверили по таблице простых чисел).
3) Можно проверять делимость числителя и знаменателя, используя признаки делимости.
Если ни один из делителей одного числа не является делителем другого, то общий делитель числителя и знаменателя — единица, то есть они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.
Числитель 105 делится на 5, 105:5=21. 21 делится на 3 и на 7. Следовательно, делители 105: 1; 3; 5; 7; 105.
Искать все делители знаменателя 374 не обязательно. Достаточно проверить, а не делится ли он на один из делителей числителя:
на 5 не делится (запись заканчивается не на 0 и не на 5),
на 7 не делится (можно проверить непосредственным делением),
на 105 не делится.
Значит 1 — единственный общий делитель 105 и 374, они являются взаимно-простыми числами, а дробь — несократимой.
Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.
Сократимая дробь, определение и примеры.
Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.
Например:
Докажите, что дробь (frac<20><35>) является сократимой.
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7
Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.
Из сократимой дроби (frac<20><35>) получили несократимую дробь (frac<4><7>).
Несократимая дробь, определение и примеры.
Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.
Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.
Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь (frac<137><149>) является несократимой дробью.
Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь (frac<137><149>) является несократимой.
Правило несократимой дроби.
- Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
- Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
- Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.
Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби (frac<55><100>).
Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.
Ответ: получили несократимую дробь (frac<11><20>).
Неправильные сократимые и несократимые дроби.
Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:
Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби (frac<32><20>).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем
Ответ: получили несократимую неправильную дробь (frac<16><5>).
Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.
Определите сократима ли дробь (frac<16><25>).
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.
Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) (frac<8><25>) б) (frac<6><4>) в) (frac<13><5>) г) (frac<36><44>).
Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби (frac<8><25>) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.
б) У числителя и знаменателя дроби (frac<6><4>) (6=2⋅3, 4=2⋅2, (frac<6><4>=frac<2 imes 3><2 imes 2>=frac<3><2>) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.
в) Числитель и знаменатель дроби (frac<13><5>), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.
г) Числитель и знаменатель дроби (frac<36><44>) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь (frac<36><44>=frac<4 imes 9><4 imes 11>=frac<9><11>) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.
Ответ: (frac<8><25>) несократимая, правильная дробь.
Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.
Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.
б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.
в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от (frac<1><133>) до (frac<132><133>).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.
г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.
Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.
Сократимые и несократимые дроби
Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.
Сократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.
Например, обыкновенная дробь $frac<4><20>$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$, т.е. имеют положительный общий делитель $4$, отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $frac<3><12>$, $frac<7><7>$. Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$, а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$.
Несократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель — единицу.
Например, дроби $frac<3><5>$, $frac<11><4>$, $frac<171><5>$, $frac<18><35>$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них — взаимно простые числа.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Правила проверки дроби на сократимость
В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.
Например, легко увидеть, что дробь $frac<230><450>$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $frac<368><6824>$ сократима.
В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $frac<240671><357893>$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.
Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость
Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:
- если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
- если $НОД
e 1$, то дробь является сократимой.
Проверить на сократимость обыкновенную дробь $frac<203><861>$.
Решение.
Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.
НОД вычислим по алгоритму Евклида:
Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $frac<203><861>$ — сократимая дробь.
Ответ: дробь $frac<203><861>$ — сократимая.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Сокращение дробей
Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Например, сократим обыкновенную дробь $frac<7><21>$ на $7$, т.к. $7div 7=1$ и $21div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $frac<1><3>$, для которой $frac<7><21>=frac<7cdot 1><7cdot 3>=frac<1><3>$.
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя — наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.
Дробь $frac$ — несократимая, т.к. $a:НОДleft(a, b
ight)$ и $b:НОДleft(a, b
ight)$ — взаимно простые числа.
Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.
Правило сокращения дробей
Найти НОД числителя и знаменателя дроби.
Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.
Сократить дробь $frac<187><231>$.
Решение.
Воспользуемся правилом сокращения дробей:
Найдем НОД($187, 231$).
Наиболее удобным является алгоритм Евклида:
[231=187cdot 1+44][187=44cdot 4+11][44=11cdot 4]
Таким образом, НОД($187, 231)=11$.
Разделим числитель и знаменатель дроби $frac<187><231>$ на $11$, в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:
Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ extit<разложения дроби на простые множители>, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.
Сократить дробь $frac<720><960>$.
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):
Также можно использовать еще один способ сокращения дроби — последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.
Решение.
Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$. После сокращения дроби $frac<5000><21150>$ на $10$ получим $frac<500><2115>$.
Далее сократим дробь $frac<500><2115>$ на $5$, исходя из признака делимости на $5$. Получим $frac<100><423>$ — несократимую дробь. Сокращение завершено.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
