Что такое стационарная точка функции

Что такое стационарная точка функции

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.

Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Читайте также:  Косинус в остроугольном треугольнике

Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

  • Как найти стационарные точки функции
  • Как найти на функции промежутки убывания
  • Как найти точку максимума и минимума
  • — функция, которую необходимо исследовать на наличие стационарных точек;
  • — определение стационарных точек: стационарные точки функции — это точки (значения аргумента), в которых производная функции первого порядка обращается в нуль.

Для выполнения данной задачи необходимо уделить особое внимание правилам дифференцирования.

Внимание и концентрация на задаче также помогут с ней справиться — перед выполнением задачи убедитесь в том, что вас ничто не будет отвлекать в процессе ее решения.
Знание стационарных точек функции значительно облегчает построение ее графика, так как именно в этих точках находится максимальное и минимальное значения функции.

  • 10 — 11 классы
  • Алгебра
  • 10 баллов
Читайте также:  Как узнать разрядность системы компьютера

Найдите стационарные и критические точки функции: y=3x³+2x²-7

y’=9x²+4x, я не понимаю как делать дальше, объясните на данном примере!

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

BerSErKeR 02.04.2012

Ответ

Проверено экспертом

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

критические точки это точки где производная либо равна нулю, либо не существует.

  • Комментарии
  • Отметить нарушение

Ответ

когда нашли производную, то приравниваем её к 0.

x=0 стационарна точка

x=-4/9 стационарная точка

критических точек тут нет. критические точки мы находим с помощью области определения производной. там где производная не существует, там и будет критические точки.

Ссылка на основную публикацию
Что такое синтаксический пакет
Одна из проблем, с которыми можно столкнуться при установке приложения apk на Android — сообщение: «Синтаксическая ошибка» — ошибка при...
Что отражает двоичная матрица
Представление информации в табличной форме широко распростране­но. Чаще всего мы пользуемся прямоугольными таблицами. Простейшая таблица состоит из строк и граф...
Что означают значки в погоде на айфоне
Самые интересные новости о технике Apple и не только. Что означают значки погоды на iPhone? Сегодняшняя тема весьма заинтересует многих...
Что такое синтаксическая ошибка на андроиде
При попытке распаковать приложение из APK на Android может появляться «Синтаксическая ошибка. При синтаксическом анализе пакета возникла неполадка». Это значит,...
Adblock detector