Что значит det в матрице

Что значит det в матрице

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Читайте также:  Как выключить автономный режим в телефоне samsung

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

  • раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Программа предназначена для вычисления определителя (детерминанта) матрицы.

Определитель (детерминант) матрицы — это многочлен от элементов исходной матрицы.
Обозначение определителя (детерминанта) матрицы следующее:

Для матрицы 1х1 определитель (детерминант) — это элемент иатрицы:

Для матрицы 2х2 определитель (детерминант) вычисляется следующим образом:

Для матрицы nхn определитель (детерминант) вычисляется так:

Для вычисления определителя (детерминанта) матрицы введите значение количества строк матриц и количества столбцов матрицы , затем введите значения элементов матрицы и нажмите кнопку "ВЫЧИСЛИТЬ".
Результатом работы программы будет определитель (детерминант) матрицы.

Исходную матрицу и значение определителя (детерминанта) матрицы можно копировать в буфер обмена для дальнейшего использования в других приложениях.

Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2. n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12. n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Читайте также:  Телевизор philips 55pus8809 60

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (4.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (4.4)

где индексы q1, q2. qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2. n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1) q, где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или detA = (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j = 1. n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом — из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Читайте также:  Пропала скорость интернета мтс

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j . Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

или j- го столбца

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Формула вычисления определителя третьего порядка.

Для облегчения запоминания этой формулы:

Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

.

Пример 2.6. Вычислить определитель

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

.

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

.

И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22... ann.

Пример 2.7. Вычислить определитель .

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

Ссылка на основную публикацию
Что если компьютер включается и сразу выключается
Одна из распространенных проблем с компьютером — он включается и сразу выключается (через секунду-другую). Обычно это выглядит следующим образом: нажатие...
Чем отредактировать pdf файл бесплатно
Онлайн PDF редактор для изменения PDF Защищенная с помощью SSL передача файлов Автоматическое удаление файла с сервера через один час...
Чем очистить клей от корпуса телефона
На сенсорном дисплее телефона после снятия защитной пленки остались большие следы клея. Я понимаю, что не надо было экономить на...
Что за номер 800 555
У пользователей часто звонит неизвестный номер 88005551534 или остаются пропущенные звонки. Давайте разберемся какой организации принадлежит этот номер, а ниже...
Adblock detector