Что значит полный квадрат

Что значит полный квадрат

Полный квадрат суммы в алгебре может встретиться в ходе решения примеров из самых разных тем. Вот почему важно выработать умение увидеть полный квадрат и свернуть его по формуле.

Как другие формулы сокращенного умножения, квадрат суммы является тождеством, то есть формула может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.

Выражение, стоящее в правой части этого тождества, называется полным квадратом суммы (о неполном квадрате мы будем говорить позже).

Полный квадрат суммы равен сумме трех слагаемых, два из которых — квадраты некоторых выражений, а третье — их удвоенное произведение. Он сворачивается в квадрат суммы этих выражений.

На практике, как правило, прежде чем воспользоваться формулой полного квадрата суммы, выражение требуется преобразовать.

В ходе первых шагов работы с формулой полного квадрата может быть полезной следующая схема:Например, для того, чтобы свернуть по формуле выражение

сначала его следует представить как сумму квадратов двух выражений и удвоенного произведения этих выражений:

С помощью схемы это записывается так:

Следует учесть, что слагаемые в формуле полного квадрата суммы могут стоять в произвольном порядке.

Как определить полный квадрат суммы?

1) Полный квадрат суммы состоит ровно из трех положительных слагаемых.

2) Два слагаемых являются квадратами некоторых выражений.

3) Третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений.

Здесь квадраты — первое и второе слагаемые:

Проверяем, является ли третье слагаемое удвоенным произведением первого и второго выражений:

Да,является. Значит, это выражение — полный квадрат суммы, и его можно свернуть по формуле:

Здесь все три слагаемые со знаком «минус», чего в формуле полного квадрата суммы быть не может. А что, если попробовать вынести знак «-» за скобки?

(не забываем все знаки в скобках изменить на противоположные).

В скобках получили сумму квадратов двух выражений и их удвоенного произведения, то есть полный квадрат суммы двух выражений:

Переход от полного квадрата суммы к квадрату суммы — один из способов разложения многочлена на множители. Вынесение общего множителя за скобки — другой. В 5-м примере были применены оба способа одновременно.

Еще один пример на комбинацию двух способов:

Выражение в скобках — полный квадрат суммы, так как состоит из суммы квадратов двух выражений и их удвоенного произведения

Метод выделения полного квадрата основан на
использовании формул:

a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 (1) ,

a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 (2) ,

и a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) (3) .

Разложим многочлен на множители методом
выделения полного квадрата:

для применения формулы (2) нам необходимо выражение x 2 – 10x + 5 2 ,
значит прибавим и отнимем от нашего многочлена 5 2 ;

= x 2 – 10x + 5 2 – 5 2 – 11 = ( x 2 – 10x + 5 2 ) – 36 = ( x – 5 ) 2 – 6 2 =

теперь применим формулу разность квадратов (3) ;

= ( x – 5 – 6 ) ( x – 5 + 6 ) = ( x – 11 ) ( x + 1 ) .

Рассмотрим ещё один пример, упростим выражение:
Читайте также:  Где найти ключи для активации винды 10
x 4 + 4 y 4
x 2 + 2 y 2 + 2 x y

=

разложим числитель на множители методом выделения полного квадрата:

для применения формулы (1) нам необходимо выражение x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ,
значит прибавим и отнимем от нашего многочлена 4 x 2 y 2 ;

( x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ) − 4 x 2 y 2 = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − 4 x 2 y 2 =

теперь применим формулу разность квадратов (3) ;

= ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = ( x 2 + 2 y 2 − 2 x y ) ( x 2 + 2 y 2 + 2 x y ) ;

Однако не все его знают. В результате этого объем вычислений увеличивается, а также допускаются ошибки. Он также применяется для нахождения корней уравнений и построения графиков.

Общая информация

Выделить полный квадрат из многочлена второй степени означает, что его следует привести к более читабельной формуле. Эта операция применяется в следующих случаях: интегрирование, дифференцирование, построение графиков и решение уравнений (чаще — в последних двух).

За основу взяты три формулы сокращенного умножения (разложение квадратного многочлена на множители), которые специалисты рекомендуют запомнить или выписать отдельно.

К ним относятся следующие соотношения:

  1. Квадрат суммы: (y + z)^2 = y 2 + 2yz + z 2 .
  2. Квадрат разности: (y — z)^2 = y 2 — 2yz + z 2 .
  3. Разность квадратов: y 2 — z 2 = (y — z)(y + z).

Существует правило, позволяющее выполнить операцию упрощения многочлена ay 2 + by + c второй степени путем разложения его на множители. Это означает, что его следует свести (преобразовать) к виду a * (y — y0)^2 + y0.

Универсальный алгоритм

Алгоритмом называется комплексное решение, состоящее из последовательного набора правил. Преобразование ay 2 + by + c осуществляется следующим образом:

  1. Привести к такому виду первое слагаемое на основании формулы (y + z)^2 = y 2 + 2yz + z 2 : [(a)^(½) * y]^2. Корень из коэффициента «а» следует указывать обязательно.
  2. Второе слагаемое должно состоять из удвоенного произведения: by = [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)].
  3. Третий свободный член находится по формуле z = (b / [2 * (a)^(½)].
  4. Для равновесия следует отнять число, полученное в пункте 3.
  5. Записать результат нужно таким образом: [(a)^(½) * y]^2 + [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c.

Для квадрата разности алгоритм похожий. Формула выделения полного квадрата имеет такой вид: [(a)^(½) * y]^2 — [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c. Соотношение также применяется математиками в алгебре, а также в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Для этого нужно воспользоваться таким подробным объяснением правил решения:

  1. Запись формулы: ay 2 — c = ((a)^(½) * y — (c)^(½))((a)^(½) * y + (c)^(½)).
  2. Коэффициент «с^(½)» должен быть равен целому числу.
  3. Если условие во втором пункте не выполняется, то следует воспользоваться таким соотношением: с + a — a= с1 — a.
  4. Записать выражение в таком виде: ay 2 — c + a — a = ((a)^(½) * y — (c1)^(½))((a)^(½) * y + (c1)^(½)) — a.

Число «а» может быть положительным или отрицательным. Если его прибавить к «с», то должно получиться значение «с1».

При извлечении квадратного корня результат должен быть целым. Чтобы равенство не нарушалось, следует прибавить и отнять «а».

Алгоритм записан в общем виде. В теории он является сложным для понимания.

Однако при практическом применении некоторые неясности исчезают. Для начала нужно разобрать, где его нужно применять.

Сферы использования

Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.

Читайте также:  Как включить приложение телефон на самсунге

Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.

Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.

Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:

  • построение графиков квадратичной функции;
  • решение уравнений;
  • упрощение выражений.

Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.

Построение графиков

Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:

  1. Коэффициенты «а» и «с» — некоторые числа. Последнее вычисляется по такой формуле: с = b / 2a.
  2. Константа «d» является свободным членом.

Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:

    Направление ветвей: вверх (a > 0) и вниз (a 0), по ОУ в отрицательном направлении (c 2 + bz + с = 0 означает найти все его корни или доказать, что их нет. Его можно решать несколькими методами: нахождение дискриминанта, использование теоремы Виета или представление в виде квадрата.

При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:

  1. Упростить выражение (выведение общего множителя, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых).
  2. Вычисление дискриминанта: D = (-b)^2 — 4ac.
  3. Разобрать частные случаи, и выбрать ход решения, который зависит от значения D: при D > 0 решением уравнения являются два значения или корня (z1 = -b — D^(½) / 2a и z2 = -b + D^(½) / 2a; D = 0 — один корень (z = -b / 2a) и D 2 + c = 0), то дискриминант можно не высчитывать. Решение находится следующим образом:
  1. Нужно перенести свободный член «с» в правую сторону. Если с 0, необходимо перейти ко второму шагу решения.
  2. Разделить обе части на «а».
  3. Вычислить корни по формулам (будут одинаковыми числами, но с разными знаками): z1 = -[c/a]^(½) z2 = [c/a]^(½).

Когда коэффициент с = 0 (az 2 + bz = 0), то решить уравнение очень просто.

Для этого нужно произвести такие действия:

  1. Сократить обе части на «a».
  2. Вынести за скобку общий множитель: z (z + b/a) = 0.
  3. Решить два уравнения: z1 = 0 и z2 + b/a = 0.
  4. Проверить корни, подставив в исходное тождество.

Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.

Читайте также:  Time capsule своими руками

Упрощение выражений

Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z 2 — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.

В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.

Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z 2 + 4z + 16 + z 2 — 16. Его можно просто упростить: z 2 + 8z + 16 + z 2 — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).

Пример решения

Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:

  1. Упростить выражение: z^2 + 20z + 50 — 6z — 5 = z^2 + 14z + 45.
  2. Вычислить дискриминант: D = 14^2 — 4 * 1 * 45 = 196 — 180 = 16 = 4^2.
  3. Осуществить анализ второго пункта: если D = 16 > 0, то значит у уравнения два корня.
  4. Первый корень: z1 = (-14 — 4) / 2 = -9.
  5. Второе решение: z2 = (-14 + 4) / 2 = -5.
  6. Проверка: (-9)^2 + (-9) * 14 + 45 = 81 — 126 + 45 = 0 и (-5)^2 + (-5) * 14 + 45 = 25 — 70 + 45 = 0.

Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.

Второй метод заключается в использовании теоремы Виета. Произвести поиск корней довольно просто, поскольку а = 1. Воспользовавшись формулами z1 + z2 = — 14 и z1 * z2 = 45, можно подобрать корни: z1 = -9 и z2 = -5.

Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:

  1. Разложить на множители (формула квадрат суммы): z^2 + 14z + 45 = z^2 + 14z + 45 + 4 — 4 = (z^2 + 14z + 49) — 4 = (z + 7)^2 — 4.
  2. Использовать формулу разности квадратов двух чисел: (z + 7)^2 — 4 = (z + 7 — 2)(z + 7 — 2) = (z + 5)(z + 9).
  3. Записать в виде уравнений: (z + 5) = 0 и (z + 9) = 0.
  4. Корни: z1 = -5 и z2 = -9.

Использование графического метода позволит получить точные значения, поскольку во всех предыдущих способах они являются целыми числами. Необходимо записать уравнения параболы (можно воспользоваться вторым пунктом алгоритма третьего метода): (z + 7)^2 — 4. Анализ перед построением выглядит таким образом:

Ссылка на основную публикацию
Что если компьютер включается и сразу выключается
Одна из распространенных проблем с компьютером — он включается и сразу выключается (через секунду-другую). Обычно это выглядит следующим образом: нажатие...
Чем отредактировать pdf файл бесплатно
Онлайн PDF редактор для изменения PDF Защищенная с помощью SSL передача файлов Автоматическое удаление файла с сервера через один час...
Чем очистить клей от корпуса телефона
На сенсорном дисплее телефона после снятия защитной пленки остались большие следы клея. Я понимаю, что не надо было экономить на...
Что за номер 800 555
У пользователей часто звонит неизвестный номер 88005551534 или остаются пропущенные звонки. Давайте разберемся какой организации принадлежит этот номер, а ниже...
Adblock detector