Циклическая частота затухающих колебаний формула

Циклическая частота затухающих колебаний формула

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные

Формулы колебания и волны

Уравнение гармонических колебаний:

где х — смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;

ω — круговая (циклическая) частота;

α — начальная фаза;

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний

Затухающие колебания характеризуются коэффициентом затухания /1, временем релаксации г, декрементом затухания, логарифмическим декрементом затухания в и добротностью Q. Коэффициент затухания /? определяет скорость затухания колебаний. Закон изменения амплитуды А затухающих колебаний со временем описывается формулой (19.66). Возьмём производную по времени от амплитуды А и выразим коэффициент /1

Отсюда следует, что коэффициент затухания /? равен относительному уменьшению амплитуды колебаний за единицу времени. Размерность <? — секунда в минус первой степени (с ; ).

Под временем релаксации г понимают интервал времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз. Запишем отношение амплитуд А (?) и A (t + г) для моментов времени tи t

Если величина /? • г равна единице (/? • г = /), то отношение равно е, отсюда

Коэффициент затухания /> обратно релаксации г, согласно (19.70)

Количественной характеристикой быстроты колебаний служит декремент затухания. Он равен амплитуд двух последовательных колебаний в времени t, t + Т, отличающиеся на период Т

Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда А колебаний за интервал времени A t, равный периоду Т (A t = Т).

Логарифмический декремент затухания в — безразмерная величина, равная натуральному логарифму от декремента затухания (отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся йшзическпй ве личины S r onHV и tv же стопину)

так как коэффициент затухания /? обратно пропорционален времени

Колебательная система за время релаксации г совершает число колебаний Ne, равное

релаксации г ф = —), то г отсюда

так как г = _L, то

Согласно уравнению (19.72), логарифмический декремент затухания в обратно пропорционален числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если в = 0,01, то амплитуда А убывает в е раз через 100 колебаний.

Читайте также:  Кто настраивает спутниковые антенны

Найдём связь между логарифмическим декрементом затухания О и циклической частотой со затухающих колебаний системы. Подставим в уравнение (19.69) значение условного периода Т колебаний,

равное Т = , а коэффициент затухания /1 выразим из формулы

Из этого соотношения получим

Уравнение (19.73) связывает логарифмический декремент затухания с циклической частотой со.

Итак, формулы, описывающие затухающие колебания, когда в механической колебательной системе отсутствуют силы трения, силы сопротивления среды, а в электрическом колебательном контуре нет активного сопротивления R, переходят в соответствующие формулы для свободных незатухающих колебаний, для которых коэффициент затухания ft и логарифмический декремент затухания в равны нулю (fj = 0, 0 = 0).

Добротность Q колебательной системы — безразмерная физическая величина, характеризующая скорость рассеяния её энергии. Добротность Q пропорциональна отношению запасённой системой энергии W (?) к энергии, теряемой за условный период колебаний Т

где 2к — коэффициент пропорциональности.

Полная энергия W (?) колебательной системы в момент времени ? пропорциональна квадрату амплитуды колебаний А 2 (?)

где к — коэффициент пропорциональности.

Подставим (19.75) в (19.74)

Разделим правую часть этой формулы на А

(?), а вместо А (?) и A (t + Т) подставим их значения Ао ? е ‘ и Ае + т> соответственно, с учётом, что Р ? Т = в, тогда получим

При малых значениях логарифмического декремента затухания в (iв « 1) величина (7 — е 2в ) примерно равна 26 и добротность Q колебательной системы определяется формулой

Из формулы (19.78) следует, что добротность Q колебательной системы прямо пропорциональна числу колебаний Ne за время релаксации г. Величина добротности Q определяет число колебаний, которое совершит колебательный контур после однократной зарядки конденсатора, прежде чем амплитуда колебаний уменьшится в е раз.

Покажем, что добротность Q, делённая на 2 ж, равна отношению w(t)

Запишем закон изменения со временем ? полной энергии W пол колебательной системы

Скорость уменьшения энергии колебаний dW равна

Интегрируя это выражение по времени t в пределах от до Г, получим формулу, определяющую убыль энергии за один период колебаний

тогда отношение (_ ^ ) равно

Л W

умножим и разделим правую часть этой формулы на к, с учётом, что /? • Т = в, получим

Из формулы (19.73), связывающей частоту со затухающих колебаний с логарифмическим декрементом затухания в, следует, что при в « 1 частота со равна частоте со свободных незатухающих колебаний (со = со) и условный период Т затухающих колебаний

(Т = —) равен периоду Т свободных незатухающих колебаний

= rTi). Тогда добротность Q колебательной системы равна

Получили, что добротность колебательной системы Q определяется её параметрами системы со и /?. Добротность пружинного

сопротивлением механической системы и волновым сопротивлением электрического колебательного контура.

Согласно уравнению (19.80), добротность Q колебательного контура равна отношению волнового сопротивления контура к его электрическому сопротивлению. Добротность Q колебательной системы уменьшается при увеличении коэффициента затухания /?.

Частота со затухающих колебаний с ростом коэффициента затухания /? уменьшается (со = — р 2 ) и при со = /? она равна нулю

(со = 0). В этом случае колебания системы, выведенной внешней силой из положения равновесия, после прекращения действия силы становятся непериодическими (период Т колебаний стремится к бесконечности). Система за счёт больших потерь энергии не совершает колебаний.

Читайте также:  Как создать электронную открытку

В случае механической колебательной системы начальная энергия, переданная системе, полностью расходуется на преодоление силы трения. Система, выведенная из положения равновесия и предоставленная сама себе, не достигая положения равновесия, останавливается (рис. 189).

Режим колебаний, когда /? 2 = со 2 , называется критическим, так как прекращаются колебания системы. Выведем формулу для критического сопротивления R кр колебательного контура, для

которого со = А , Р = —, приравняв о,, 2 к /» 2 , получим V т 2 L

Понятие добротности Q, в основном, используется для описании колебательных систем со слабым затуханием, у них величина добротности может достигать нескольких сотен (Q » 1).

В колебательной системе поддерживаются незатухающие колебания, если потери энергии пополняются за счёт постоянного источника энергии. Он периодически подключается к системе, каждый раз передавая ей новую порцию энергии. Возникающие колебания называют автоколебаниями, а система называется автоколебательной

Частота и амплитуда автоколебаний зависят только от параметров системы. Система управляет поступлением к ней энергии в нужное время в необходимом количестве. Примером автоколебательной системы служат часы. Маятник часов совершает незатухающие колебания, несмотря на действие силы трения. Пружина, заведённая человеком, является источником энергии.

Автоколебания принципиально отличаются от других

колебательных процессов тем, что для их поддержания не требуется извне периодических воздействий.

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А и φ — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Читайте также:  Защита от сварки материал

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

(3)

(4)

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению — статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Ссылка на основную публикацию
Функции в вольфрам математика
Функции пользователя Хотя в систему входят многие сотни встроенных функций (начиная от элементарных и кончая специальными математическими функциями и системными...
Учимся рисовать в paint
Серия видео уроков «Создание компьютерного рисунка в программе Paint» МОУ «Межборская средняя общеобразовательная школа» (Уроки предназначены для детей 9-12 лет,...
Учиться без троек сканворд
Музыкант, играющий на барабанах, тарелках Передовой работник производства (ударник) Часть затвора стрелкового оружия (ударник) "Барабанщик" коммунистического труда (устар.) (ударник) "Барабанщик"...
Функция abs в паскале
Возвращает абсолютную величину параметра. Объявление Function Abs(X) : (тип параметра); Режим Windows, Real, Protected Замечания Параметр X — выражение вещественного...
Adblock detector