Формула для нахождения относительной погрешности

Формула для нахождения относительной погрешности

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными, если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноNизмерений одной и той же величиныxв отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x1,x2, …,xN. В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

. (1)

Абсолютной погрешностьюединичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности Nединичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью.

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С, указанному на шкале прибора:

Например: и,

Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c…).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a,b,c…). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c+d).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 = . (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

Читайте также:  Надо ли форматировать новый ssd

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c…) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

  • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
  • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
  • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Читайте также:  Как открутить подводку от смесителя

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Зависимость величины А от других величин Относительная погрешность e Абсолютная погрешностьDА

Как пользоваться этой таблицей, если функциональная зависимость измеряемых величин в ней отсутствует?

Пусть например, некоторая физическая величина А рассчитывается по формуле: A = . Значения B, C и D найдены прямыми измерениями во время проведения эксперимента. Их абсолютные погрешности соответственно равны DB, DC и DD. Подставляя полученные значения в формулу, получим приближенное значение Аи. Далее следует рассчитать относительную погрешность результата eА. Это можно сделать, воспользовавшись соответствующими формулами из таблицы 5.

На первый взгляд кажется, что такой формулы в таблице нет. При более внимательном анализе ситуации заметим, что в нашем случае искомое значение находится как отношение двух величин.

Тогда можно воспользоваться формулой А = , где X=B+C.

Из таблицы для отношения , имеем: eА =eX+eD или eА=eB+C+eD

В той же таблице найдем как рассчитывать относительную погрешность суммы: eB+C = . Следовательно, eА= + . Теперь можно найти значение границ абсолютной погрешности, умножив относительную погрешность на величину косвенных измерений: ∆А= ( + )∙Аи.

Предложите учащимся решить задачи:

Задание 1.Определите объем небольшого тела, например спичечного коробка или бруска, и вычислите интервал значений погрешности измерений двумя методами.

Решение.

а = 5,2 см ± 0,1 см

b = 3,2 см ± 0,1 см

c = 1,5 см ± 0,1 см

Определим объем спичечного коробка, используя формулу V=abc = 5,2 см . 3,2 см . 1,5 см=24,96 см 3

Читайте также:  Как установить приложение apk на андроид

Метод 1. Запишем в виде неравенств:

5,1 см . 1,4 см = 22,1 см 3 Vmax = 5,2 см · 3,3 см . 1,6 см = 27,5 см 3

Итак, результат вычисления объема коробка с учётом погрешностей исходных данных в виде неравенства запишется так:

Метод 2. Запишем формулу для вычисления относительной погрешности объема спичечного коробка:

Запишем формулу для вычисления абсолютной погрешности измерения объема спичечного коробка:

Запишем результат в виде: V = (25,0 ±2,9)см 3 .

Задание 2. Соберите электрическую цепь по схеме, вычислите сопротивление и определить интервал значений двумя методами.

Решение.

Определим сопротивление резистора (лампы), используя закон Ома для участка цепи

Метод 1. Так как , то нижняя граница значения сопротивления ), а верхняясоответственно равна Ом

Или в виде неравенства:6 Ом

DR = e × R = × R = × 8 Ом = 2,5 Ом

Запишем результат в виде: R = (8,0 ±2,5) Ом.

Заметим, что значение погрешности достаточно велико. Добиться большей точности можно, если использовать амперметр с меньшей ценой деления.

Занятие 5. Лабораторная работа

Цель работы:вычислить ускорение тела, скатывающегося с наклонной плоскости без начальной скорости.

Приборы и материалы:секундомер, измерительная лента (линейка), штатив, желоб, шарик, металлический цилиндр.

Ход работы:

1. Укрепите желоб на штативе, под небольшим углом к горизонту. У нижнего конца желоба положите в него металлический цилиндр.

2. Пустив шарик с верхнего конца желоба, измерьте время его движения вдоль желоба до удара о цилиндр. Повторите опыт 5 раз.

3. С помощью измерительной ленты определите длину перемещения шарика.

4. Вычислите среднее значение времени скатывания шарика и рассчитайте среднее значение модуля ускорения.

Учителю: можно напомнить ученикам формулу вычисления ускорения для равноускоренного движения без начальной скорости:

5. Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу.

№ опыта Время скатывания шарика t ± Dt, c Среднее время скатывания шарика , с Длина перемещения шарика S ± DS, м Среднее ускорение `a ± Dа, м/с 2

Указание: при вычислении абсолютных погрешностей измерений и вычислений можете воспользоваться любым методом.

6. Передвиньте цилиндр на середину желоба. Повторите задания п.2-5.

№ опыта Время скатывания шарика t ± Dt, c Среднее время скатывания шарика , с Длина перемещения шарика S ± DS, м Среднее ускорение `a ± Dа, м/с 2

7. Сделайте вывод.

Образец выполнения лабораторного задания

Ссылка на основную публикацию
Учимся рисовать в paint
Серия видео уроков «Создание компьютерного рисунка в программе Paint» МОУ «Межборская средняя общеобразовательная школа» (Уроки предназначены для детей 9-12 лет,...
Умный браслет с функцией измерения давления
Вы посвящаете свою жизнь спорту или просто стараетесь всеми возможными способами следить за своим здоровьем? Придерживаетесь того, что во время...
Умный выключатель zigbee aqara
Протокол передачи данных в домашних системах автоматизации. Реле Xiaomi Aqara Xiaomi Aqara wireless relay Систему "Умного дома" сложно представить без...
Учиться без троек сканворд
Музыкант, играющий на барабанах, тарелках Передовой работник производства (ударник) Часть затвора стрелкового оружия (ударник) "Барабанщик" коммунистического труда (устар.) (ударник) "Барабанщик"...
Adblock detector