Функции в вольфрам математика

Функции в вольфрам математика

Функции пользователя

Хотя в систему входят многие сотни встроенных функций (начиная от элементарных и кончая специальными математическими функциями и системными функциями), нередко требуется расширить ее вводом новых функций, действие которых задается пользователем. Такие функции принято называть функциями пользователя. Функции пользователя – простейшие программные объекты, необходимые даже в том случае, когда пользователь не желает углубляться в тонкости программирования системы. Их цель – расширение системы и ее обучение работе с новыми функциями.

Для задания, опознавания и уничтожения функций пользователя используются следующие конструкции:

  • f (x_): = х^3 – отложенное задание функции пользователя с именем f;
  • f (х_) = х^3 – немедленное задание функции пользователя с именем f;
  • ?f – вывод информации о функции f;
  • Clear [f] – уничтожение определения функции f.

В обозначениях вида х_ знак _ применяется для создания так называемых образцов, задающих локальные переменные в теле функции – в нашем примере это х. При этом в самом теле функции переменные обозначаются как обычно, без знака образца. Он лишь указывает на особый статус переменных в ограниченном пространстве программы – в теле функции. Так, если вместо х_ будет подставлено число 2, то f (2) будет возвращать 2 А 3. Вне тела функции значение переменной х не изменяется. Переменная х может быть и неопределенной: х_ определяет переменную х только для тела функции. Более подробно создание образцов будет описано в дальнейшем.

Mathematica позволяет записать введенные пользователем функции с их определениями на магнитный диск с помощью оператора:

После этого функция пользователя становится внешней функцией. При этом для ввода таких функций в текущий документ (notebook) достаточно вызвать файл с именем filename:

Рекомендуется создавать файлы с типовым расширением.т. Такие файлы входят в пакеты расширений системы. Имя файла нужно задавать по общепринятым для MS-DOS правилам, то есть при необходимости указывать логическое имя дисковода и путь к файлу, например, так:

Создание внешних функций по существу означает возможность расширения системы и ее адаптации к решению типовых задач конкретного пользователя. Как уже отмечалось, в систему входит мощная библиотека внешних расширений, и каждый пользователь может пополнить ее своими собственными библиотеками расширений.

Примечание:
Функции пользователя могут быть рекурсивными, то есть допускать в своем теле обращение к самим себе. Это связано с тем, что функция становится объявленной сразу же после задания своего имени со списком параметров. Рекурсия – мощный прием программирования, но злоупотреблять им не стоит. Многие рекурсивные алгоритмы более эффективно реализуются без рекурсии, с применением средств процедурного программирования, например циклов
.

Функции пользователя можно задавать и выводить на печать как на языке системы, так и на некоторых общепринятых языках программирования, например Fortran, С или ТеХ. Для этого существует ряд функций преобразования, в имена которых входит слово Form (форма) и название языка для записи функций. Основные из них – это CForm [expr], FortranForm [expr ] и TeXForm [expr]. С их помощью выражения можно преобразовать в форму, принятую для языков программирования С, Fortran и ТеХ. При преобразовании в форму языка ТеХ греческие буквы заменяются их латинскими именами, например alpha, Alpha, beta, Beta, gamma и т. д. К сожалению, в отличие от систем класса MathCAD и Maple V R3, вывод математических формул в их полностью естественном виде не предусмотрен, хотя многое для этого уже сделано.

Для преобразования формул и данных, записанных на языке системы Mathematica и хранящихся в текстовых файлах, в другие формы используются следующие функции:

  • Splice ["file.rar"] – читает текстовый файл file.mx, интерпретирует его фрагменты, заключенные в ограничители , и пишет текстовый файл file.*, в котором эти фрагменты преобразованы в формат, определяемый расширением х (с – С, f – Fortran, tex – ТеХ);
  • Splice ["infile", "outfile"] – то же, но с раздельным заданием имен входного и выходного файлов.

Таким образом, система Mathematica может общаться с другими программами, написанными на языках программирования, получивших распространение в практике реализации математических расчетов. Этому во многом способствует возможность преобразования форматов данных и результатов вычислений в различную форму, характерную для используемой внешней системы. К примеру, если вы работаете с программами на языке Fortran, то следует использовать соответствующий формат представления данных и результатов вычислений.

Mathematica может общаться также с иными системами, например текстовыми редакторами. К примеру, для передачи содержимого каких-либо ячеек в текстовый редактор Write, входящий в оболочку Windows, достаточно выделить эти ячейки и поместить их в буфер обмена, используя команду Copy из меню Edit. После этого надо запустить текстовый редактор и с помощью команды Edit › Paste поместить в окно редактирования содержимое ячеек. Если оно символьное, то с помощью редактора можно записать полученный документ с расширением .txt, то есть в стандартном текстовом формате, с которым работает большинство DOS-приложений.

Читайте также:  Какая видеокарта radeon лучше для игр

Wolfram Mathematica (WM) является пакетом символьной математики. Огромное количество заложенных разработчиками функций, а также открытая среда, позволяющая дополнять пакет своими собственными расширениями делает его возможности воистину безграничными. Mathematica имеет высокую скорость и практически не ограниченную точность вычислений, что позволяет ей работать как на очень мощных компьютерах, так и не очень сильных персональных компьютерах. На основе ядра пакета имеется Web-сервер, который позволяет пользоваться ее возможностями неограниченному числу людей.

Часто основыми конкурентами пакета называют Maple, MathCAD и MatLab. Если с первым сложно поспорить, то насчет MathCAD и MatLab можно. Дело в том, что эти два пакета занимают совсем другую нишу, нежели Mathematica. Оба при вычислении используют численные алгоритмы, а не символьные. Символьные вычисления являются слабо развитыми (по сравнению c пакетами символьных вычислений) дополнениями. Гораздо более похожим продуктом является бесплатно распространяемый пакет Maxima.

Основы интерфейса

Рассмотрим основные понятия Mathematica. После установки пакета в главном меню создаются ярлыки на два файла: Mathematica и Mathematica Kernel. Дело в том, что ярлык Mathematica Kernel запускает ядро пакета, которое производит все вычисления, а ярлык Mathematica запускает интерфейсную часть пакета.

Интерфейс пакета строится из нескольких базовых понятий: Тетрадь (Notebooks), Ячейка (Cell) и Палитра (Palletes). Тетрадью называется файл, с которым работает пользователь. В нем создаются и вычисляются формулы, строятся графики и таблицы. При желании, в тетради можно даже проиграть звуковой файл или фильм.

Тетрадь состоит из ячеек. Грубо ячейку можно сравнить с параграфом в текстовом редакторе. Все информация, которая есть в тетради, храниться в его ячейках. Как только Вы в пустом новом файле наберете хотя бы один символ, Mathematica создаст для него ячейку. Ячейка также является минимальной единицей, которую можно вычислить. То есть, если у Вас в ячейке есть две формулы, вычислить их раздельно не получиться. Все ячейки можно разделить на три типа:

  • Ячейки ввода – в них задаются команды (формулы), которые будут вычислены;
  • Ячейки результата – в них Mathematica выводит результат вычислений;
  • Другие ячейки – ячейки с текстом, заголовки и все остальное, что вводит пользователь и вычислять не надо (можно было бы назвать их не вычисляемые ячейки).

Любые ячейки можно объединять и разбивать с помощью команд меню Cell: Divide Cell (разбить ячейку) и Merge Cells (объединить ячейки).

Для быстрого доступа к функциям, разработчики Mathematica ввели специальные типы окон, которые называются палитрами. Палитры содержат окна с кнопками, которые выполняют действия. Действия могут быть соврешенно различными: от добавления греческой буквы, до раскрытия скобок в алгебраическом выражение. Различные палитры доступны через меню File-Palletes. Приложение приведена функциональность нескольких палитр.

Ввод данных осуществляется в ячейки. Пакет поддерживает кириллицу и греческие буквы наравне с английским алфавитом. Вы можете смело называть переменные русскими буквами, также как и греческими. В то же время, идентификаторы различаются по регистру, т.е. переменная A не то же, что переменная a. Для такого ввода индекса можно воспользоваться палитрой Basic Input. С помощью нее также можно ввести шаблоны операций (таких как сумма, умножение, корень) и греческие буквы. Другие символы можно найти на палитре Basic Typesettings. Полный список всех символов, которые знает Mathematica, можно найти на палитре Complete Charecters. Чтобы ввести символ, нужно нажать на кнопку с его изображением.

Греческие символы гораздо удобнее вводить с помощью клавиши ESC. Сначала нажимается ESC (при этом в ячейке выводиться три вертикальных точки), затем имя буквы, например alpha, и снова ESC. Эта комбинация даст . . Основные буквы приведены в приложение, а полный список можно найти в электронной помощи (см. ). Для ввода индексов также удобно использовать горячие клавиши. Например, нижний индекс дает комбинация CTRL+-, верхний — CTRL+^. Список основных комбинаций горячих клавиш также можно найти в приложение.

Палитры, кроме прямого ввода символа, также имеют очень полезное свойство показывать в внизу своего окна ESC-комбинацию символа.

Wolfram Mathematica имеет развитые средства форматирования текста. С помощью их можно разбивать тетрадь на главы и разделы, вводить поясняющий текст и т.д. Обычно стиль задается всей ячейке целиком, хотя никто не мешает Вам использовать такое форматирование как курсив и полужирное начертание внутри ячейки.

Для того, чтобы задать стиль ячейки, ее необходимо сначала выделить (щелкнув левой кнопкой мышки по синей полоске справа от ячейки). Затем через меню Format->Style выбрать нужный стиль, например заголовок. Если указывать стили вроде раздела или заголовка, то следующие ячейки будут вложены в эту ячейку. Закрыв ее (двойным щелчком мыши по синий полоске), они спрячутся с экрана. Следующий заголовок начнет новую группу ячеек.

Читайте также:  Как удалить сборку 7601

Помимо ячеек, стили можно задать всей тетради. Этот шаг изменить отображения всех стандартных стилей и может добавить новые. Так, заголовок может стать не черным, а синим, все ячейки ввода заиметь черную рамку сверху и по-бокам, а ячейки вывода будут иметь рамки по бокам и снизу.

Из стандартных стилей ячеек, хотелось бы отметить два. Первый, Text, служит для ввода текста. Он использует шрифт с засечками (в стиле по умолчанию, это Times New Roman) и ячейка становиться не вычисляемой. Второй стиль называется Display Formula, и позволяет вводить более изящные формулы, чем Input (который используется по умолчанию).

Сравните, к примеру две формулы:

Input Display Formula
Sin(2x) = 2Cos(x) Sin(x) Sin(2x) = 2Cos(x) Sin(x)

Конечно Display Formula, это не TEX, и даже не MS Equation, но смотрится по-лучше, чем Input.

Наконец, мы добрались до самого главного — вычислений. Основой вычислений в Mathematica являются переменные. Для того чтобы объявить переменную, достаточно просто написать ее имя. Для того, чтобы что-либо положить в переменную, используется операция присвоения. В следующем примере в переменную а будет положено значение 2.

Теперь, если запустить расчет ячейки (с помощью комбинации клавиш SHIFT+ENTER, или с помощью клавиши ENTER на дополнительной клавиатуре (калькуляторе), или с помощью меню Kernel->Evalution, Evalute Cells) Mathematica создаст ячейку результат и выведет туда значение переменной а.

В предыдущем примере было показано явное присвоение, бывает также отложенное присвоение, которое задается строкой :=. Разницу лучше всего показать на примере:

Теперь а содержит 3, а b содержит 2. Обратите внимание, что Mathematica создала 3 ячейки результата, по одной на каждое выполнение действие. Запретить создание ячейки результата можно, если после действия поставить знак ;.

Теперь проделаем то же самое, заменим вторую операцию на явное присвоение:

Во-первых, теперь создались только 2 ячейки, для первого и третьего присвоения. Теперь a по прежнему содержит 3, а вот b не содержит никакого значения. Когда мы попробуем обратиться к ней, нам вернется текущее значение a. Например, в предыдущем примере запись b + 2 выдаст 4, а в этом случае — 5.

Переменные можно обрабатывать с помощью функций. Самый простой способ применить функцию, это вызвать ее с помощью палитры AlgebraicManipulation. Для этого формула, к которой требуется применить функцию, должна быть выделена. Результат функции заменит выделенную формулу. Так, если написать формулу

и применить функцию Expand (разложить), мы получим

если же к полученному применить команду Factor (разложить на множители), мы получим исходную формулу. В приложение эта палитра рассмотрена более подробно.

Второй способ заключается в непосредственном вводе функции в ячейку,и является основным. При вызове функции, используются следующие правила. Первое, все стандартные функции начинаются с заглавной буквы. Второе. Параметры функции передаются в квадратных скобках. Так, для того чтобы сделать предыдущий пример, необходимо написать следующее. После выполнения примера, a будет равно c. Для сравнения переменных используются операции == (равно), != (не равно), > (больше), = (больше равно),

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Wolfram|Alpha — база знаний и набор вычислительных алгоритмов (англ. computational knowledge engine ), вопросно-ответная система. Запущена 15 мая 2009 года. Не является поисковой системой.

Содержание

Основные операции [ править ]

  • Сложение a + b <displaystyle a+b>: a+b
  • Вычитание a − b <displaystyle a-b>: a-b
  • Умножение a ⋅ b <displaystyle acdot b>: a*b
  • Деление a b <displaystyle <frac >>: a/b
  • Возведение в степень a b <displaystyle <^>>: a^b

Примеры

  • 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
  • (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения [ править ]

  • Меньше <displaystyle : >"> ><displaystyle >>>"/> : >
  • Равно = <displaystyle =>: = или ==

Логические символы [ править ]

  • Конъюнкция "И" ∧ <displaystyle wedge >: &&
  • Дизъюнкция "ИЛИ" ∨ <displaystyle vee >: ||
  • Отрицание "НЕ" ¬ <displaystyle
    eg >: !
  • Импликация =>

Основные константы [ править ]

  • Число π <displaystyle pi >: Pi
  • Число e <displaystyle e>: E
  • Бесконечность ∞ <displaystyle infty >: Infinity, inf или oo

Основные функции [ править ]

( a = const ) <displaystyle left(a=operatorname
ight)>

Решение уравнений [ править ]

Чтобы получить решение уравнения вида f ( x ) = 0 <displaystyle f(x)=0> достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры

  • Solve [Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x]или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
  • Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
  • Solve[Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0,x] или Log[3,x²+x+1]-Log[9,x²]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции f <displaystyle f> и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида f ( x , y , . . . , z ) = 0 <displaystyle f(x,y. z)=0> по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где j <displaystyle j> — интересующая Вас переменная.

Примеры

  • Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
  • x²+y²-5=0 или Solve[x²+y²-5=0,x] или Solve[x²+y²-5=0,y];
  • x+y+z+t+p+q=9.
Читайте также:  Рейтинг качественных телефонов 2018

Решение неравенств [ править ]

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа 0>"> f ( x ) > 0 <displaystyle f(x)>0> 0>"/> , f ( x ) ⩾ 0 <displaystyle fleft(x
ight)geqslant 0> полностью аналогично решению уравнения f ( x ) = 0 <displaystyle f(x)=0> . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры

  • Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
  • x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где j <displaystyle j> — интересующая Вас переменная.

Примеры

  • Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
  • x^2+y^3-5 =9.

Решение различных систем неравенств и уравнений [ править ]

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида f ( x ) <displaystyle f(x)> , так и вида f ( x , y ) <displaystyle f(x,y)> . Для того, чтобы построить график функции f ( x ) <displaystyle f(x)> на отрезке x ∈ [ a , b ] <displaystyle xin left[
ight]> нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты y <displaystyle y> был конкретным, например y ∈ [ c , d ] <displaystyle yin left[
ight]> , нужно ввести: Plot[f[x],,].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],].

Для того, чтобы построить график функции f ( x , y ) <displaystyle f(x,y)> на прямоугольнике x ∈ [ a , b ] , y ∈ [ c , d ] <displaystyle xin left[
ight],yin left[
ight]> , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],,]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты z <displaystyle z> пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции f ( x , y ) <displaystyle f(x,y)> Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Математический анализ [ править ]

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы [ править ]

Для того, чтобы найти предел последовательности < x n ><displaystyle left<>
ight>> нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры

  • Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
  • Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции f ( x ) <displaystyle f(x)> при x → a <displaystyle x o a> можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Производные [ править ]

Для того, чтобы найти производную функции f ( x ) <displaystyle f(x)> нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции f ( x , y , z , . . . , t ) <displaystyle f(x,y,z. t)> напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где j <displaystyle j> — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где j <displaystyle j> означает то же, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Интегралы [ править ]

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции f ( x ) <displaystyle f(x)> нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x <displaystyle int limits _^> так же просто: Integrate[f[x], ] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Дифференциальные уравнения и их системы [ править ]

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения F ( x , y , y ′ , y ″ , . . . , y ( n ) ) = 0 <displaystyle F(x,y,y’,y». y^<(n)>)=0> нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока что не поддерживается.

Ошибки при работе с системой [ править ]

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство 3 x 2 − 18 x + 24 2 x − 2 − 3 x − 12 2 x 2 − 6 x + 4 0 <displaystyle <frac <3x^<2>-18x+24><2x-2>>-<frac <3x-12><2x^<2>-6x+4>> , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4) x ∈ ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 3 ; 4 ) <displaystyle xin (-<mathcal <infty >>;2)cup (3;4)> , в котором будет присутствовать точка 1, но при этом происходит деление на ноль. Сейчас эта ошибка исправлена.

Ссылка на основную публикацию
Учимся рисовать в paint
Серия видео уроков «Создание компьютерного рисунка в программе Paint» МОУ «Межборская средняя общеобразовательная школа» (Уроки предназначены для детей 9-12 лет,...
Умный браслет с функцией измерения давления
Вы посвящаете свою жизнь спорту или просто стараетесь всеми возможными способами следить за своим здоровьем? Придерживаетесь того, что во время...
Умный выключатель zigbee aqara
Протокол передачи данных в домашних системах автоматизации. Реле Xiaomi Aqara Xiaomi Aqara wireless relay Систему "Умного дома" сложно представить без...
Учиться без троек сканворд
Музыкант, играющий на барабанах, тарелках Передовой работник производства (ударник) Часть затвора стрелкового оружия (ударник) "Барабанщик" коммунистического труда (устар.) (ударник) "Барабанщик"...
Adblock detector