Исследовать на непрерывность функцию двух переменных

Исследовать на непрерывность функцию двух переменных

Пусть функция определена в точке и в некоторой её окрестности; если , то функция называется непрерывной в точке.

Понятие непрерывности можно переформулировать на языке «».

Функция называется непрерывной в точке , если для любого сколь угодно малого существует число , такое, что для тех пар чисел , которые удовлетворяют неравенствам , выполняется неравенство .

Другими словами, достаточно малые изменения независимых переменных х и у обеспечивают сколь угодно малые изменения значений функции. Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги точек на плоскости ОХУ ведут к сколь угодно малым изменениям аппликаты точек поверхности, являющейся графиком функции .

Арифметические действия над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным же функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в нуль). Это утверждение доказывается аналогично случаю функции одной переменной.

Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области. Точка, в которой функция не определена или определена, но не является непрерывной в ней, называется точкой разрыва функции.

Пример. Для функции точки разрыва образуют множество точек плоскости ОХУ, определяемое равенством , то есть это две прямые

Приведённые выше определения описывают непрерывность функции по совокупности переменных. Зафиксировав одну из переменных , получим функцию одной переменной х. Если функция непрерывна в точке , то говорят, что функция непрерывна в точке по переменной х. Аналогично вводится понятие непрерывности функции по переменной у в точке .

Будем придавать переменным х и у приращения и соответственно так, чтобы точка принадлежала области определения функции .

Частным приращением функции по переменной х в точке называется величина , а по переменной у — величина .

Полным приращением этой функции в точке называется выражение

Читайте также:  Меняю цвет волос в видео приложения

Тогда определение непрерывности функции в точке по совокупности переменных на языке приращение означает, что

Непрерывность функции по переменной х в точке означает, что , а по переменной у — что .

Замечание. Из непрерывности функции в точке следует её непрерывность по каждой из переменных х и у в этой точке. Обратное утверждение неверно.

3) этот предел равен значению функции в точке (x; y), т. е.

Геометрический смысл непрерывности заключается в том, что график в точке (x; y) представляет собой сплошную нерасслаивающуюся поверхность.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в данной области.

Если в некоторой точке N(x; y) не выполняется условие непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции z = f(x; y).

Нарушение условий непрерывности функции z = f(x; y) может происходить как в отдельных точках, так и в точках, образующих некоторую линию (линия разрыва).

Пример 10.Найти точки разрыва функций:

1)

2)

3)

1. Данная функция определена для любых x, y, таких, что ху ¹ 0, т. е. х ¹ у. Следовательно, прямая x = y является линией разрыва функции.

2. Данная функция определена на R 2 всюду, кроме точки (5; 0), которая и является точкой разрыва функции.

3. Функция определена для любых x, y, z, таких, что Сфера с центром в начале координат и радиусом 4 является поверхностью разрыва функции.

Тест 6.Функция не является непрерывной в точке:

Помогите, пожалуйста, исследовать функцию на непрерывность. f(x,y)=(e^(1/xy))/xy,если xy не равно 0; f(x,y)=a, если xy равно 0.

задан 27 Май ’13 23:16

1 ответ

Поскольку функция $$f(x,y)=egindfrac<1>>>,& xy
e<0>\ a, & xy =0end
$$ зависит только от произведения $%xy,$% то достаточно исследовать непрерывность функции $$varphi(t)=egindfrac<1>>>,& t
e<0>\ a, & t=0.end
$$

Читайте также:  Ютуб ком активация смарт тв

отвечен 27 Май ’13 23:33

Тут нужно рассматривать 2 случая: когда t->0 и когда t-> -0?

Тогда уж $%t o+0$%, это не то же, что $%t o0$%

В принципе, достаточно разобрать случай $%t o+0$%, так как при этом $%varphi(t) o+infty$%, а потому непрерывности в точке $%t=0$% уже не наблюдается.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Ссылка на основную публикацию
Изменения в тарифе смарт мтс
При выборе мобильной связи каждый из нас старается подобрать тот тариф, который будет максимально соответствовать его запросам. Тарифный план «Смарт»,...
Забыл графический ключ андроид леново что делать
Забыли пароль или графический ключ на Андроид телефоне? – Не беда, в данной статье мы заставим ваш смартфон снять всю...
Завис ноут при включении
У пользователя завис ноутбук? Что делать? Ответить на этот вопрос нам предстоит далее. Ведь каждый юзер может столкнуться с зависанием...
Изменить права на папку linux
Как установить права доступа на запись в папку и на все подпапки и файлы: chmod -R 755 /home/vasya смена прав,...
Adblock detector