Компланарность векторов через матрицу

Компланарность векторов через матрицу

Компланарность — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости [1] .

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа λ 1 , λ 2 <displaystyle lambda _<1>,lambda _<2>> такие, что a → = λ 1 b → + λ 2 c → <displaystyle <vec >=lambda _<1><vec >+lambda _<2><vec >> для компланарных a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> , за исключением случаев b → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> или c → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> .

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> образуют базис. То есть любой вектор d → ∈ R 3 <displaystyle <vec >in mathbb ^<3>> можно представить в виде: d → = x 1 a → + x 2 b → + x 3 c → <displaystyle <vec >=x_<1><vec >+x_<2><vec >+x_<3><vec >> . Тогда < x 1 , x 2 , x 3 ><displaystyle ;<1>,x_<2>,x_<3>>> будут координатами d → <displaystyle <vec >> в данном базисе.

Обобщения [ править | править код ]

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

Читайте также:  Разборка acer aspire 5739g

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Неверно введено число.

Компланарность векторов

Введите координаты векторов:

a = ( , , )
b = ( , , )
c = ( , , )

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Теория

Существует несколько вариантнов определения компланарности трех векторов в пространстве. Приведем основные из них.

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскоти.

Три вектора называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости.

Три вектора называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Для трех векторов верны следующие утверждения:

  • если из трех векторов два коллинеарны, то эти тре вектора компланарны;
  • смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0 (нулю) — это критерий компланарности трех векторов.
Читайте также:  Локальный диск на английском

Если это произведение равно 0, то векторы компланарны

Ссылка на основную публикацию
Какой настоящий номер момо
Развлечения в интернете давно перешли на новый уровень, и если в 2016 году весь мир подключился к массовой многопользовательской free-to-play...
Как узнать причину bsod
Синий экран смерти или BSOD (The blue screen of death) - это всегда очень тревожный симптом проблем с компьютером. Данный...
Как узнать пришла ли посылка с джум
В последнее время всё большее количество людей, являвшихся завсегдатаями Алиэкспресс, переходят в аналогичный китайский интернет-магазин — Joom. Связано это с...
Какой мощности блок питания для шуруповерта
Аккумуляторный шуруповерт – удобный и необходимый в хозяйстве инструмент. При эксплуатации «от случая к случаю», он может верой и правдой...
Adblock detector