Найти производную методом логарифмического дифференцирования

Найти производную методом логарифмического дифференцирования

Пусть нужно найти производную функции

Упростим выражение, пользуясь свойствами логарифмов. Получим:

Теперь искомая производная может быть легко найдена последовательным применением правила дифференцирования линейной комбинации и композиции функций (это будет сделано ниже).

Во многих случаях при нахождении производных частного двух функций, произведения нескольких функций, показательно-степенных функций пользуются формулой логарифмического дифференцирования. Так называется формула для производной логарифма данной функции. Пользуясь свойствами логарифма, сначала находят производную логарифма данной функции, а по ней легко получают искомую производную самой функции. Покажем, как это делается.

Пусть нужно найти производную функции , в такой точке , где Введем в рассмотрение функцию и найдем ее производную (как мы отметили выше, во многих случаях и находится проще, чем Но Значит,

Это и есть формула логарифмического дифференцирования. Из нее следует, что

Пример 13. Найдем производную функции

Решение. Воспользуемся методом логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Тогда по формуле (21) получим:

Пример 14. Найдем производную функции

Решение. Рассмотрим функцию и вычислим ее производную:

У рассмотренной в примере 14 функции и основание, и показатель степени были переменными. Такие функции называются показательно-степенными Выведем правило дифференцирования показательно-степенной функции.

Пусть где — дифференцируемые в точке функции, причем Тогда Отсюда получаем:

Воспользуемся этой формулой для вычисления производной функции Получим

Вопросы для самопроверки

1. Где при выводе формулы была использована непрерывность функции ?

2. Эквивалентность каких бесконечно малых мы использовали при выводе формулы

3. В чем состоит физический смысл формул

4 Для каких значений справедлива формула

5. Для каких значений справедлива формула

6. Сформулируйте теорему о дифференцируемости обратной функции.

7. В чем заключается правило вычисления производной обратной функции? Дайте геометрическое истолкование этому правилу.

Читайте также:  Поменять класс элемента jquery

8. Эквивалентность каких бесконечно малых мы использовали при выводе формулы

9. Какой угол образует с осью ординат график показательной функции

10. В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Содержание:

Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y = ( f ( x ) ) g ( x ) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.

Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.

Как вывести формулу логарифмической производной

Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:

y = f ( x ) ln y = ln ( f ( x ) ) ( ln y ) ‘ = ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ 1 y · y ‘ = ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ ⇒ y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘

Примеры использования формулы

Покажем на примере, как это делается.

Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x .

Решение

Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y = ln x x . С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y = x · ln x . Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:

ln y = x · ln x ln y ‘ = x · ln x ‘ 1 y · y ‘ = x ‘ · ln x + · ln x ‘ ⇒ y ‘ = y · 1 · ln x + x · 1 x = y · ( ln x + 1 ) = x x · ( ln x + 1 )

Ответ: x x ‘ = x x · ( ln x + 1 )

Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:

Читайте также:  Я не двигаюсь мне лень я зазнался

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y ‘ = ( e x · ln x ) ‘ = e x · ln x · x · ln x ‘ = x x · x ‘ · ln x + x · ( ln x ) ‘ = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

Рассмотрим еще одну задачу.

Вычислите производную функции y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

Решение

Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y ‘ = y · ln ( f ( x ) ) ‘ . Поясним, почему такое вычисление удобнее.

Начнем с нахождения ln ( f ( x ) ) . Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:

  • логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
  • логарифм произведения можно представить в виде суммы;
  • если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.

ln ( f ( x ) ) = ln ( x 2 + 1 ) 1 3 x 3 · sin x 1 2 = ln ( x 2 + 1 ) 1 3 — ln ( x 3 · sin x ) 1 2 = = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) — 3 2 ln x — 1 2 ln sin x

В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:

( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) — 3 2 ln x — 1 2 ln sin x ‘ = = 1 3 ln ( x 2 + 1 ) ‘ — 3 2 ln x ‘ — 1 2 ln sin x ‘ = = 1 3 ( ln ( x 2 + 1 ) ) ‘ — 3 2 ( ln x ) ‘ — 1 2 ( ln sin x ) ‘ = = 1 3 · 1 x 2 + 1 · x 2 + 1 ‘ — 3 2 · 1 x — 1 2 · 1 sin x · ( sin x ) ‘ = = 1 3 · 2 x x 2 + 1 — 3 2 x — cos x 2 sin x

Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.

Ответ: y ‘ = y · ln ( f ( x ) ) ‘ = x 2 + 1 3 x 3 · sin x · 1 3 · 2 x x 2 + 1 — 3 2 x — cos x 2 sin x

Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.

Дана показательно степенная функция y = ( x 2 + x + 1 ) x 3 . Вычислите ее производную.

Решение:

y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · ln ( x 2 + x + 1 ) x 3 ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · x 3 · ( x 2 + x + 1 ) ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · x 3 ‘ · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 ln ( x 2 + x + 1 ) ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 · 1 x 2 + x + 1 · x 2 + x + 1 ‘ = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Ответ: y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘ = ( x 2 + x + 1 ) x 3 · 3 x 2 · ln ( x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

Читайте также:  Кнопка жизни часы для детей отзывы

Вычислите производную выражения y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

Решение

Применяем формулу логарифмической производной.

y ‘ = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 ‘ = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 — ln x 2 + 2 x + 2 ‘ = = y · 1 3 ln ( x 2 + 1 ) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln ( x 3 + 1 ) — 1 2 ln ( x 2 + 2 x + 2 ) ‘ = = y · ( x 2 + 1 ) ‘ 3 ( x 2 + 1 ) + x + 1 ‘ 2 ( x + 1 ) + ( x 3 + 1 ) ‘ 4 x 3 + 1 — x 2 + 2 x + 2 ‘ 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) + 3 x 2 4 ( x 3 + 1 ) — 2 x + 2 2 ( x 2 + 2 x + 2 )

Ответ:

y ‘ = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 · 2 x 3 ( x 2 + 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) + 3 x 2 4 ( x 3 + 1 ) — 2 x + 2 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) .

Предыдущая статья

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Следующая статья

Дифференцирование функции, нахождение производной

Ссылка на основную публикацию
Найти музыку по мелодии на клавиатуре
Понравилась случайно услышанная песня, но вы не знаете ни названия, ни имени исполнителя? Если вы запомнили хоть небольшой фрагмент мелодии,...
Мобильный телефон логин или почта
Логин – это уникальное имя учетной записи, которое выдается автоматически при регистрации на каком – либо сайте или придумывается пользователем...
Мобильный телефон с громким звонком и динамиком
Несмотря на то что сегодня буквально каждую неделю выходит какая-то новая модель смартфона, отличающаяся улучшенными характеристиками по сравнению с предшественником,...
Найти оборудование в сети
45 миллионов пользователей выбирают бесплатный Advanced IP Scanner. Advanced IP Scanner Надежный и бесплатный сетевой сканер для анализа локальных сетей....
Adblock detector