Решить дифференциальное уравнение методом эйлера

Решить дифференциальное уравнение методом эйлера

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем. Разобраны наиболее известные методы Эйлера, Рунге-Кутта (разных порядков), приведено сравнение приближенных и точных решений, построены графики.

Решения задач на численное интегрирование дифференциальных уравнений онлайн

Задача 1.Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
на отрезке $[t_0, T]$ с шагом $h=0.2$ а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.

Задача 2. Используя 1) метод Эйлера и 2) модифицированный метод Эйлера, найдите приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка $y’=f(x,y)$ удовлетворяющего начальным условиям $y(x_0)=y_0$ на отрезке $[a,b]$ с шагом $h=0.1$. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Задача 3. Численно решить задачу Коши для ОДУ 2-ого порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка. $$u»+e^x u’-(10+sin x )u+f=0, 0lt x lt 1$$ $$u(0)=0; u'(0)=50$$ $$f=50((11+sin x) sin x-e^x cos x). $$ Точное решение: $u=50 sin x, h=0.05, n=20$

Задача 4. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи с шагами $h_1=(b-a)/5$, $h_2=(b-a)/10$ и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.

Ташкентский Институт Инженеров Железнодорожного Транспорта

Тема: Решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Выполнил: Махкамов Г.К.

Проверила: Кадирова Е.В.

Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х). Для построения первого (а затем и каждого следующего) участка ломаной в этом методе мы вычисляем значение f(Xo,Yо), проводим прямую из данной точки с полученным угловым коэффициентом. Поскольку Y'(Хо)=f(Хо,Yо), то эта прямая будет касательной к интегральной кривой в точке (Хо,Yо). Поэтому мы и заменяем часть графика функции на отрезок касательной к ней. Далее, из новой полученной точки мы делаем следующий такой же шаг и т.д.

Метод Эйлера хорош тем, что он прост и нагляден, но к сожалению , он очень плох в смысле точности приближения и дает лишь приблизительный вид интегральной кривой.

Читайте также:  Украли apple id что делать

Говоря о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы ограничимся еще более частным случаем постановки задачи, в которой требуется лишь определить значение неизвестной функции Y(х) в одной точке b.

Общая схема численных методов

1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=Xo

Как видно из Таблицы 1, численное решение сильно отличается от точного и главный вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений yk. Вообще говоря, существуют два источника погрешности этих приближений: первый — ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (1) разностной аппроксимацией (3); второй источник погрешности — ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций по формулам (3). Мы ошибки округления рассматривать не будем (подробно эта тема рассмотрена в книге Дж. Ортега, У. Пул "Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений"), а сейчас будем считать, что значения yk в (3) вычисляются точно, так что погрешности обусловлены только ошибкой дискретизации. Введём величину

E(h)= max1Ј kЈ N | yk -y(xk)|

называемую глобальной ошибкой дискретизации (иногда эту величину называют глобальной ошибкой усечения). Отметим, что E(h) зависит от величины шага h , поскольку предполагается, что приближения вычисляются при заданном значении h . Интуитивно ожидаем и определённо надеемся, что при уменьшении h ошибка дискретизации будет убывать и, в частности, при стремлении h к нулю также будет стремиться к нулю.

Мы не будем давать полный анализ глобальной ошибки дискретизации, а удовлетворимся лишь тем, что покажем, как такой анализ обычно проводится. Во-первых предположим, что точное решение y имеет на отрезке [a,b] ограниченную вторую производную y» :

maxaЈ xЈ b | y»(x)| = M

Далее рассмотрим величину

которая называется локальной ошибкой дискретизации метода Эйлера в точке x и служит мерой того, насколько разностная аппроксимация y'(x) отличается от f(x,y(x)). Предположим теперь, что yk равно значению точного решения y(xk). Тогда разность между аппроксимацией по Эйлеру yk+1 и точным решением y(xk+1) выражается формулой

y(xk+1)-yk+1=y(xk+1)-y(xk)-h f(xk,y(xk))=h L(xk,h)

Таким образом умноженная на h локальная ошибка дискретизации равна ошибке на одном шаге метода Эйлера, стартовавшего с точного решения.

Читайте также:  Роутер asus rt ac52u настройка

Нас интересует максимум L(x,h) по x ,так что определим локальную ошибку дискретизации метода Эйлера как

L(h)= maxaЈ xЈb-h|L(x,h)|

Отметим, что величина L(h) зависит, как от величины шага h , так и от вида правой части дифференциального уравнения и от отрезка [a,b]. Мы, однако, выделили явно только зависимость от h , поскольку в предположении (8) с помощью разложения Тейлора, аналогичного(4), можно получить оценку

Мы здесь воспользовались стандартным обозначением O(h) для величины стремящейся к нулю при h® 0 с той же скоростью, что и h. В общем случае будем говорить, что функция g(h) равна Соседние файлы в предмете Математика

    #

Численное решение дифференциальных уравнений

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

, где x – независимая переменная, — i-ая производная от искомой функции. n — порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

Примеры краевых задач:

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

на отрезке при условии

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки промежутка [x, xn].

Целью является построение таблицы

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

Читайте также:  Как заблокировать экран на маке

,

то получим явную формулу Эйлера:

, .

Зная , находим , затем т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера:

Пользуясь тем, что в точке x известно решение y(x) = y и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x1) решенияy(x) задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x2: и т.д. В итоге для i–й точки получим формулу Эйлера.

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

, .

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление состоит из двух этапов:

Данная схема называется еще методом предиктор – корректор (предсказывающее – исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Методы Рунге – Кутта: идея построения явных методов Рунге–Кутты p–го порядка заключается в получении приближений к значениям y(xi+1) по формуле вида

,

.

Здесь an, bnj, pn, – некоторые фиксированные числа (параметры).

При построения методов Рунге–Кутты параметры функции (an, bnj, pn) подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок аппроксимации.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

Пример. Решить задачу Коши:

.

Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге – Кутта.

Точное решение:

Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Ссылка на основную публикацию
Рассрочка на iphone xs max
Новый iPhone XS Max - заказать совершенный смартфон. 12 сентября 2018 года было анонсировано новое поколение смартфонов от Apple. Это...
Прошивки для кубоид 150
Прошивку (Firmware) боксмода Joyetech Cuboid 150w можно сменить. Это обязательно надо сделать, если устройство плохо работает: Само собой выключается, не...
Прошивки для леново s660
Кастомная прошивка для Lenovo S660 Данная статья для тех кто решил обновить прошивку и получить root права на Lenovo S660....
Расстановка номеров страниц в word 2010
О программе Microsoft Word мы писали уже не раз, хотя в последнее время уроков по ней не было. Но вот...
Adblock detector