Скорость материальной точки совершающей гармонические колебания задается

Скорость материальной точки совершающей гармонические колебания задается

4. Колебания и волны

1. Гармонические колебания величины s описываются уравнением s = 0,02 cos (6πt + π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

2. Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой A = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.

3. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 4 см и периодом T = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения x = 2 см.

4. Точка совершает гармонические колебания с периодом T = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

5. Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда A = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки vmax = 30 см/с, начальная фаза φ = 10°.

6. Точка совершает гармонические колебания по закону x = 3 cos (πt/2 + π/8), м. Определите: 1) период T колебаний: 2) максимальную скорость Vmax точки; 3) максимальное ускорение amax точки.

7. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

8. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t) = -6 sin 2 πt, м/с. Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

9. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x = A sin ωt. В какой-то момент времени смещение точки x1 = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение x2 оказалось равным 24 см. Определите амплитуду A колебания.

10. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,02 cos (πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия.

11. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и периодом T = 4 с.

12. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой ν = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х = 5 см, со скоростью v = -15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

13. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону х = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

14. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos 3πt/2, м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.

15. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите полную энергию Е этой точки.

16. Полная энергия E гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период T колебаний равен 4 с, а начальная фаза φ = π/6.

17. Определите отношение кинетической энергии T точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.

18. Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону x = A cos(ωt + φ).

19. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия Tmax груза составляет 0,8 Дж.

20. Материальная точка колеблется согласно уравнению х = A cos ωt, где A = 5 см и ω = π/12 с -1 . Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу ωt.

Читайте также:  Замена крана на батарее отопления

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

При гармонических колебаниях различные колебательные системы (математический и пружинный маятники) описываются одинаковыми уравнениями. Материальная точка при гармонических колебаниях проходит ряд положений, смещаясь по обе стороны от положения равновесия на равные расстояния.

Смещение материальной точки от положения равновесия характеризует ее положение в пространстве в конкретный момент времени (рис. 10.10). Зависимость смещения (координаты) от времени при гармонических колебаниях описывается уравнениями:

x ( t ) = x max sin ( ω t + φ 0 ) или x ( t ) = x max cos ( ω t + φ 0 ) ,

где x max — максимальное значение смещения материальной точки от положения равновесия ( амплитуда ), x max = A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для смещения материальной точки выбирают формулу

x ( t ) = x max sin ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для смещения материальной точки выбирают формулу

x ( t ) = x max cos ω t .

Смещение материальной точки:

  • в положении равновесия равно нулю: x ( t ) = 0;
  • крайнем положении равно максимальному значению — амплитуде: x ( t ) = x max = A .

Скорость материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции скорости на координатную ось, выбранную вдоль линии ее движения, от времени описывается уравнениями:

v x ( t ) = v max cos ( ω t + φ 0 ) или v x ( t ) = − v max sin ( ω t + φ 0 ) ,

где v max — максимальное значение проекции скорости ( амплитуда скорости ), v max = ω A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для проекции скорости выбирают формулу

v x ( t ) = v max cos ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для проекции скорости выбирают формулу

v x ( t ) = − v max sin ω t .

Значение скорости материальной точки:

  • в положении равновесия максимально: v ( t ) = v max = ω A ;
  • крайнем положении равно нулю: v ( t ) = 0.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях изменяется с течением времени также по гармоническому закону; зависимость проекции ускорения на координатную ось, направленную в сторону смещения, от времени описывается уравнениями:

a x ( t ) = − a max sin(ω t + φ 0 ) или a x ( t ) = − a max cos(ω t + φ 0 ),

где a max — максимальное значение проекции ускорения ( амплитуда ускорения ), a max = ω 2 A ; φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:

1) если гармонические колебания начинаются из положения равновесия , то для проекции ускорения выбирают формулу

a x ( t ) = − a max sin ω t ;

2) если гармонические колебания начинаются из крайнего положения , то для проекции ускорения выбирают формулу

a x ( t ) = − a max cos ω t .

Значение ускорения материальной точки:

  • в положении равновесия равно нулю: a ( t ) = 0;
  • крайнем положении значение ускорения максимально: a ( t ) = a max = ω 2 A .

При решении задач на механические гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом материальная точка проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное положение:

  • если колебания начинаются из положения равновесия (рис. 10.11), то она последовательно перемещается из точки A в точку В , затем возвращается в точку A , после чего — в точку C , затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка A );
  • если колебания начинаются из крайнего положения (рис. 10.12), то она последовательно перемещается из точки A в точку В , затем — в точку C , после чего возвращается в точку B , затем вновь попадает в точку A (в этом случае положением равновесия является точка B ).
Читайте также:  Спад цен на видеокарты

При механических гармонических колебаниях материальная точка:

  • за одно полное колебание проходит путь, равный четырем амплитудам:

ее фаза изменяется на величину, равную 2π:

  • за n полных колебаний материальная точка проходит путь

ее фаза изменяется на величину

Пример 7. Точка совершает колебания по закону

x ( t ) = 80,0 cos(31,4 t + 62,8),

где x — смещение в сантиметрах; t — время в секундах.

Найти фазу колебаний через 500 мс после начала процесса.

Решение . Фаза гармонических колебаний определяется формулой

где ω — циклическая частота колебаний; t — время; φ 0 — начальная фаза колебаний.

Согласно условию задачи закон изменения фазы колебаний с течением времени имеет следующий вид:

φ( t ) = 31,4 t + 62,8.

Сопоставление с предыдущей формулой дает:

ω = 31,4 рад/с; φ 0 = 62,8 рад.

В указанный момент времени t = 500 мс фаза имеет значение

φ(0,5 с) = 31,4 ⋅ 500 ⋅ 10 −3 + 62,8 = 78,5 рад.

Данное значение фазы получено в Международной системе единиц, т.е. в радианах.

Пример 8. Тело совершает гармонические колебания с частотой 1 Гц и амплитудой 5 см. Рассчитать максимальное значение ускорения данного тела.

Решение . Максимальное значение ускорения определяется формулой

где ω — циклическая частота колебаний; A — амплитуда колебаний.

Амплитуда колебаний задана в условии задачи:

а циклическая частота колебаний определяется формулой

где ν — частота колебаний, ν = 1 Гц.

Подставим выражение для циклической частоты в формулу для вычисления максимального ускорения:

Вычислим, для удобства считая π 2 ≈ 10:

a max ≈ 4 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 10 −2 = 2 м/с 2 .

Максимальное значение ускорения тела при гармонических колебаниях с указанными характеристиками составляет 2 м/с 2 .

Пример 9. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 24 с. Найти минимальный интервал времени, за который точка смещается из положения равновесия на половину амплитуды.

Решение . Материальная точка начинает движение из положения равновесия. В этом случае смещение материальной точки от положения равновесия описывается законом

x ( t ) = x max sin ω t ,

где x max — максимальное значение смещения точки от положения равновесия (амплитуда гармонических колебаний), x max = A ; ω — циклическая частота колебаний; начальная фаза колебаний при таком выборе уравнения равна нулю.

В начальный момент времени t = 0 смещение материальной точки от положения равновесия также равно нулю: x (0) = 0.

Запишем данное уравнение для момента времени t = τ, когда смещение составляет половину амплитуды:

x ( τ ) = x max sin ω τ = x max 2 .

Преобразование уравнения к виду

позволяет найти минимальное значение произведения:

ω τ = arccos ( 1 / 2 ) = π / 6 .

С учетом равенства

искомый момент времени составляет

τ = T 12 = 24 12 = 2,0 с.

Следовательно, смещение материальной точки от положения равновесия на половину амплитуды произойдет через минимальный интервал времени, равный 2,0 с.

материальная точка совершает гармонические колебания

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом T = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х = 2 см.

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t) = -6sin 2πt. Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой v = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой x = 5 см, со скоростью v = 15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом ее полная энергия равна 6,42·10 –3 Дж, а действующая на нее сила при смешении, равном половине амплитуды, равна 3 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка, совершающая гармонические колебания, в некоторый момент времени имеет смещение, скорость и ускорение, равные соответственно 7 см, 1 см/с, –9 см/с 2 . Определить фазу колебания в рассматриваемый момент времени. Учесть, что начальная фаза и начальное смещение материальной точки равны нулю. Ответ дать в градусах.

Читайте также:  Нет связи йота сегодня

Определить максимальное ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 15 см, если ее наибольшая скорость равна 30 см/с. Написать уравнение колебаний, если начальная фаза равна 60°.

Определить максимальную скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 20 см, если наибольшее ускорение amax = 30 см/с 2 . Написать также уравнение колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом ее полная энергия равна 6,59·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равно 5 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом её полная энергия равна 4,69·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 5 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом её полная энергия равна 9,84·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 5 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом её полная энергия равна 5,95·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 5 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом ее полная энергия равна 2,66·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равно 4 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом её полная энергия равна 9,01·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 2 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом её полная энергия равна 5,16·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 8 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой ν = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х = 5 см, со скоростью v = –15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой ν = 2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х = 6 см, со скоростью v = 14 см/с. Определите амплитуду колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания. При смещении точки от положения равновесия, равном 4 см, скорость точки равна 12 см/с, а при смещении, равном 8 см, скорость равна 8 см/с. Найти период колебания материальной точки, если в начальный момент времени она находилась в положении равновесия.

Материальная точка совершает гармонические колебания, при этом ей полная энергия равна 3,07·10 –2 Дж, а действующая на нее сила при смещении, равном половине амплитуды, равна 2 Н. Определить максимальное смещение точки от положения равновесия.

Определить максимальное ускорение amax материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A = 15 см, если наибольшая скорость точки vmax = 30 см/с. Написать также уравнение колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки 25 см, наибольшая скорость 50 см/с. Найти максимальное ускорение точки и ее смещение через 2 с.

Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом 3 с, амплитудой 5 см и начальной фазой, равной нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение ее из положения равновесия равно 2,5 см.

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону x = xmsinωt. График, на котором изображена зависимость проекции ускорения ax этой точки от времени t, приведен под номером .

Ссылка на основную публикацию
Сколько человек сидит в одноклассниках
Mail.Ru Group исследовала и сравнила аудитории самых популярных в России социальных сетей — «Одноклассники», «Мой Мир», «ВКонтакте», Facebook и Twitter....
Сигнал flash в телефоне panasonic
● 19.12.08 13:08 - krepsky - 9 / 19.12.08 Два дня ломаю голову… Такая ситуация - купили партию телефонов Panasonic...
Сигналы материнской платы при загрузке
BIOS (Basic Input/Output System – базовая система ввода-вывода). Программа системного уровня, предназначенная для первоначального запуска компьютера, настройки оборудования и обеспечения...
Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных
Условие Решение 1 Решение 2 Решение 3 Поиск в решебнике Популярные решебники Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А....
Adblock detector