Собственные значения матрицы в маткаде

Собственные значения матрицы в маткаде

Mathcad содержит функции для обычных в линейной алгебре действий с массивами. Эти функции предназначены для использования с векторами и матрицами. Если явно не указано, что функция определена для векторного или матричного аргумента, не следует в ней использовать массивы как аргумент. Обратите внимание, что операторы, которые ожидают в качестве аргумента вектор, всегда ожидают вектор-столбец, а не вектор-строку. Чтобы заменить вектор-строку на вектор-столбец, используйте оператор транспонирования [Ctrl]1.

Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете также иметь несколько дополнительных функций, определенных для векторов. Эти функции скорее предназначены для анализа данных, чем для действий с матрицами. Они обсуждены в Главе “Встроенные функции”.

Следующие таблицы перечисляют векторные и матричные функции Mathcad. В этих таблицах

  • A
  • и B — массивы (векторы или матрицы).

  • v
  • — вектор.

  • M
  • и N — квадратные матрицы.

  • z
  • — скалярное выражение.

  • Имена, начинающиеся с букв m, n, i или j — целые числа.

Размеры и диапазон значений массива

В Mathcad есть несколько функций, которые возвращают информацию относительно размеров массива и диапазона его элементов. Рисунок 10 показывает, как эти функции используются.

Имя функции Возвращается.
rows(A) Число строк в массиве A. Если А — скаляр, возвращается 0.
cols(A) Число столбцов в массиве A. Если A скаляр, возвращается 0.
length(v) Число элементов в векторе v.
last(v) Индекс последнего элемента в векторе v.
max(A) Самый большой элемент в массиве A. Если A имеет комплексные элементы, возвращает наибольшую вещественную часть плюс i, умноженную на наибольшую мнимую часть.
min(A) Самый маленький элемент в массиве A. Если A имеет комплексные элементы, возвращает наименьшую вещественную часть плюс i, умноженную на наименьшую мнимую часть.

Рисунок 10: Векторные и матричные функции для нахождения размера массива и получения информации относительно диапазона элементов.

Специальные типы матриц

Можно использовать следующие функции, чтобы произвести от массива или скаляра матрицу специального типа или формы. Функции rref, diag и geninv доступны только в Mathcad PLUS.

Имя функции Возвращается.
identity(n) n x n единичная матрица (матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны 0).
Re(A) Массив, состоящий из элементов, которые являются вещественными частями элементов A.
Im(A) Массив, состоящий из элементов, которые являются мнимыми частями элементов A.
Е diag(v) Диагональная матрица, содержащая на диагонали элементы v.
Е geninv(A) Левая обратная к A матрица L такая, что LA = I, где I — единичная матрица, имеющая то же самое число столбцов, что и A. Матрица А — m x n вещественная матрица, где m>=n.
Е rref(A) Ступенчатая форма матрицы A.

Рисунок 11: Функции для преобразования массивов. Обратите внимание, что функции diag и rref являются доступными только в Mathcad PLUS.

Специальные характеристики матрицы

Можно использовать функции из следующей таблицы, чтобы найти след, ранг, нормы и числа обусловленности матрицы. Кроме tr, все эти функции доступны только в Mathcad PLUS.

Имя функции Возвращается.
tr(M) Сумма диагональных элементов, называемая следом M.
Е rank(A) Ранг вещественной матрицы A.
Е norm1(M) L1 норма матрицы M.
Е norm2(M) L2 норма матрицы M.
Е norme(M) Евклидова норма матрицы M.
Е normi(M) Равномерная норма матрицы M.
Е cond1(M) Число обусловленности матрицы M, основанное на L1 норме.
Е cond2(M) Число обусловленности матрицы M, основанное на L2 норме.
Е conde(M) Число обусловленности матрицы M, основанное на евклидовой норме.
Е condi (M) Число обусловленности матрицы M, основанное на равномерной норме.

Формирование новых матриц из существующих

В Mathcad есть две функции для объединения матриц вместе — бок о бок, или одна над другой. В Mathcad также есть функция для извлечения подматрицы. Рисунки 12 и 13 показывают некоторые примеры.

Имя функции Возвращается.
augment (A, B) Массив, сформированный расположением A и B бок о бок. Массивы A и B должны иметь одинаковое число строк.
stack (A, B) Массив, сформированный расположением A над B. Массивы A и B должны иметь одинаковое число столбцов.
submatrix (A, ir, jr, ic, jc) Субматрица, состоящая из всех элементов, содержащихся в строках с ir по jc и столбцах с ic по jc. Чтобы поддерживать порядок строк и-или столбцов, удостоверьтесь, что ir

Рисунок 12: Объединение матриц функциями stack и augment.

Рисунок 13: Извлечение субматрицы из матрицы при помощи функции submatrix.

Собственные значения и собственные векторы

В Mathcad существуют функции eigenval и eigenvec для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. В Mathcad PLUS также есть функция eigenvecs для получения всех собственных векторов сразу. Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете также иметь доступ к genvals и genvecs для нахождения обобщенных собственных значений и собственных векторов. Рисунок 14 показывает, как некоторые из этих функций используются.

Возвращается.

Имя функции
eigenvals (M) Вектор, содержащий собственные значения матрицы M.
eigenvec (M, z) Матрица, содержащая нормированный собственный вектор, соответствующий собственному значению z квадратной матрицы M.
Е eigenvecs (M) Матрица, содержащая нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям квадратной матрицы M. n-ный столбец возвращенной матрицы — собственный вектор, соответствующий n-ному собственному значению, возвращенному eigenvals.
Е genvals (M,N) Вектор v собственных значений, каждое из которых удовлетворяет обобщенной задаче о собственных значениях . Матрицы M и N — вещественнозначные квадратные матрицы одного размера. Вектор x — соответствующий собственный вектор.
Е genvecs (M,N) Матрица, содержащая нормализованные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в v, векторе, возвращенном genvals. n-ный столбец этой матрицы — собственный вектор x, удовлетворяющий обобщенной задаче о собственных значениях . Матрицы M и N — вещественнозначные квадратные матрицы одного размера.

Рисунок 14: Нахождение собственных значений и собственных векторов.

Рисунок 15: Использование eigenvecs для одновременного нахождения всех собственных векторов.

Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете иметь доступ к некоторым дополнительным функциям для выполнения специальных разложений матрицы: QR, LU, Холесского, и по сингулярным базисам. Некоторые из этих функций возвращают две или три матрицы, соединенные вместе в одну большую матрицу. Используйте submatrix, чтобы извлечь эти две или три меньшие матрицы. Рисунок 16 показывает пример.

Имя функции Возвращается.
Е cholesky(M) Нижняя треугольная матрица L такая, что LL T =M. Матрица M должна быть симметричной положительно определенной. Симметрия означает, что M=M T , положительная определённость — что x T Mx>0 для любого вектора x 0.
Е qr(A) Матрица, чьи первые n столбцов содержат ортогональную матрицу Q, а последующие столбцы содержат верхнюю треугольную матрицу R. Матрицы Q и R удовлетворяют равенству A=QR. Матрица A должна быть вещественной.
Е lu(M) Матрица, которая содержит три квадратные матрицы P, L и U, расположенные последовательно в указанном порядке и имеющие с M одинаковый размер. L и U являются соответственно нижней и верхней треугольными матрицами. Эти три матрицы удовлетворяют равенству PM=LU .
Е svd(A) Матрица, содержащая две расположенные друг над другом матрицы U и V. Сверху находится U — размера m x n, снизу V — размера n x n. Матрицы U и V удовлетворяют равенству A=Udiag(s)V T , где s — вектор, возвращенный svds(A). A должна быть вещественнозначной матрицей размера m x n, где m>=n.
Е svds(A) Вектор, содержащий сингулярные значения вещественнозначной матрицы размера m x n, где m>=n.

Рисунок 16: Использование функции submatrix для извлечения результата из функции rq. Используйте submatrix, чтобы извлечь подобным образом результаты из функций lu и svd. Обратите внимание, что эти функции доступны только в Mathcad PLUS.

Решение линейной системы уравнений

Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы сможете использовать функцию lsolve для решения линейной системы уравнений. Рисунок 17 показывает пример. Обратите внимание, что M не может быть ни вырожденной, ни почти вырожденной для использования с lsolve. Матрица называется вырожденной, если её детерминант равен нулю. Матрица почти вырождена, если у неё большое число обусловленности. Можно использовать одну из функций, описанных на странице 204, чтобы найти число обусловленности матрицы.

Возвращается.

Имя функции
Е lsolve (M, v) Вектор решения x такой, что Mx=v.

Если Вы не используете Mathcad PLUS, Вы всё-таки можете решать систему линейных уравнений, используя обращение матрицы, как показано в нижнем правом углу Рисунка 9.

Рисунок 17: Использование lsolve для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

9.4. Собственные векторы и собственные значения матриц

Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры — это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=Хх. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений L1L2. и соответствующих им собственных векторов x1, х2. Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:

  • eigenvais(A) — вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
  • eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;
  • n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvais;
  • eigenvec(A,A.) — вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения L;
    • А — квадратная матрица.
    • Применение этих функций иллюстрирует листинг 9.36. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена в листинге 9.37. Причем проверка правильности выражения Ах=Lх проведена дважды — сначала на числовых значениях х и L, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.

      Листинг 9.36. Поиск собственных векторов и собственных значений

      Листинг 9.37. Проверка правильности нахождения собственных векторов собственных значений (продолжение листинга 9,36)

      Помимо рассмотренной проблемы поиска собственных векторов и значений, иногда рассматривают более общую задачу, называемую задачей на обобщенные собственные значения: Aх=LBx. В ее формулировке помимо матрицы А присутствует еще одна квадратная матрица в. Для задачи на обобщенные собственные значения имеются еще две встроенные функции, действие которых аналогично рассмотренным (листинги 9.38 и 9.39):

      • genvais(A,B) — вычисляет вектор v собственных значений, каждый из которых удовлетворяет задаче на обобщенные собственные значения;
      • genvecs(A/B) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v, который вычисляется с помощью genvais. В этой матрице i-й столбец является собственным вектором х, удовлетворяющим задаче на обобщенные собственные значения;
      • А, в — квадратные матрицы.

      Листинг 9.38. Поиск обобщенных собственных векторов и собственных значений

      Листинг 9.39. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений (продолжение листинга 9.38)

      Глава 3. Работа с векторами и матрицами

      3.8 Собственные числа и собственные векторы матриц

      Собственные числа и собственные векторы матриц

      В технических расчетах весьма актуальна задача определения собственных чисел и собственных векторов квадратных матриц. В MathCAD имеется несколько встроенных функций для решения стандартных и нестандартных задач.

      Рассмотрим стандартную задачу на собственные числа A · L =λ· L или ( A –λ·Е)· L =0, где Е – единичная матрица, А – квадратная матрица, λ – вектор собственных чисел, L – спектр собственных векторов (рис. 3.15 ).

      Для решения стандартной задачи используются следующие функции:

      – eigenvals ( A ) –вычисляет вектор собственных чисел матрицы А, превращающий ее в диагональную матрицу;

      – eigenvecs ( A ) – вычисляет спектр собственных векторов матрицы А. Результат расчета – матрица, каждый столбец которой А i > представляет собой нормированный собственный вектор для одного из собственных чисел λ i .

      Пример стандартной задачи: по заданному тензору напряжений найти три главных напряжений (собственные числа) и соответствующие им направляющие косинусы для нормалей к трем главным площадкам (собственные векторы).

      Стандартная задача на собственные числа

      или , где Е — единичная матрица

      собственные числа собственные векторы

      Создание диагональной матрицы из собственных чисел

      Рис. 3. 15 Определение собственных чисел квадратной матрицы

      Нестандартная задача на собственные числа имеет вид A · L =λ·В· L или ( A –λ·В)· L =0, где А и В – квадратные матрицы (неединичные), λ – вектор собственных чисел; L – спектр собственных векторов (рис. 3.1 6 ).

      Нестандартная задача на собственные числа

      или , где А и В симметричные матрицы

      собственные числа собственные векторы

      Рис. 3. 16 Обобщенные собственные числа матрицы

      Пример нестандартной задачи: определение собственных частот колебаний упругих систем. В этой задаче собственное число λ=ω 2 – квадрат собственной частоты колебаний, собственный вектор L i > – форма для собственной частоты ω i .

      Для решения нестандартной задачи используются следующие функции:

      – genvals ( A , B ) – вычисляет вектор обобщенных собственных чисел λ i ;

      – genvecs ( A , B ) – вычисляет спектр собственных векторов. Результат расчета – матрица, каждый столбец которого L i > соответствует собственному числу λ i .

      Вектор собственных чисел можно преобразовать в диагональную матрицу с помощью функции diag (). Результат ее действия – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены элементы вектора λ.

      Читайте также:  Школьное расписание уроков программа
      Ссылка на основную публикацию
      Сколько человек сидит в одноклассниках
      Mail.Ru Group исследовала и сравнила аудитории самых популярных в России социальных сетей — «Одноклассники», «Мой Мир», «ВКонтакте», Facebook и Twitter....
      Сигнал flash в телефоне panasonic
      ● 19.12.08 13:08 - krepsky - 9 / 19.12.08 Два дня ломаю голову… Такая ситуация - купили партию телефонов Panasonic...
      Сигналы материнской платы при загрузке
      BIOS (Basic Input/Output System – базовая система ввода-вывода). Программа системного уровня, предназначенная для первоначального запуска компьютера, настройки оборудования и обеспечения...
      Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных
      Условие Решение 1 Решение 2 Решение 3 Поиск в решебнике Популярные решебники Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А....
      Adblock detector