Таблица значений коэффициента стьюдента

Таблица значений коэффициента стьюдента

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

Читайте также:  Acer arcade deluxe что это

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Таблица 2
Коэффициенты Стьюдента

n Значения Р
0.6 0.8 0.95 0.99 0.999
2 1.376 3.078 12.706 63.657 636.61
3 1.061 1.886 4.303 9.925 31.598
4 0.978 1.638 3.182 5.841 12.941
5 0.941 1.533 2.776 4.604 8.610
6 0.920 1.476 2.571 4.032 6.859
7 0.906 1.440 2.447 3.707 5.959
8 0.896 1.415 2.365 3.499 5.405
9 0.889 1.397 2.306 3.355 5.041
10 0.883 1.383 2.262 3.250 4.781
11 0.879 1.372 2.228 3.169 4.587
12 0.876 1.363 2.201 3.106 4.437
13 0.873 1.356 2.179 3.055 4.318
14 0.870 1.350 2.160 3.012 4.221
15 0.868 1.345 2.145 2.977 4.140
16 0.866 1.341 2.131 2.947 4.073
17 0.865 1.337 2.120 2.921 4.015
18 0.863 1.333 2.110 2.898 3.965
19 0.862 1.330 2.101 2.878 3.922
20 0.861 1.328 2.093 2.861 3.883
21 0.860 1.325 2.086 2.845 3.850
22 0.859 1.323 2.080 2.831 3.819
23 0.858 1.321 2.074 2.819 3.792
24 0.858 1.319 2.069 2.807 3.767
25 0.857 1.318 2.064 2.797 3.745
26 0.856 1.316 2.060 2.787 3.725
27 0.856 1.315 2.056 2.779 3.707
28 0.855 1.314 2.052 2.771 3.690
29 0.855 1.313 2.048 2.763 3.674
30 0.854 1.311 2.045 2.756 3.659
31 0.854 1.310 2.042 2.750 3.646
40 0.851 1.303 2.021 2.704 3.551
60 0.848 1.296 2.000 2.660 3.460
120 0.845 1.289 1.980 2.617 3.373
0.842 1.282 1.960 2.576 3.291
Читайте также:  Поток вектора через поверхность куба
Таблица 3
Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р

&#916 = Δx/σ Значения Р
0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.999
1.0 2 3 5 7 11 17
0.5 3 6 13 18 31 50
0.4 4 8 19 27 46 74
0.3 6 13 32 46 78 127
0.2 13 29 70 99 171 277
0.1 47 169 273 387 668 1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

  1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.
  2. Вычислите среднее значение из n измерений

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4
n d, мм
1 4.02 + 0.01 0.0001
2 3.98 — 0.03 0.0009
3 3.97 — 0.04 0.0016
4 4.01 + 0 .00 0.0000
5 4.05 + 0.04 0.0016
6 4.03 + 0.02 0.0004
Σ 24.06 – 0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Сравним случайную и систематическую ошибки:

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

В таблице критических значений t-критерия Стьюдента находятся теоретические значения критерия.

df p=0,05 p=0,01 p=0,001
1 12,70 63,65 636,61
2 4,303 9,925 31,602
3 3,182 5,841 12,923
4 2,776 4,604 8,610
5 2,571 4,032 6,869
6 2,447 3,707 5,959
7 2,365 3,499 5,408
8 2,306 3,355 5,041
9 2,262 3,250 4,781
10 2,228 3,169 4,587
11 2,201 3,106 4,437
12 2,179 3,055 4,318
13 2,160 3,012 4,221
14 2,145 2,977 4,140
15 2,131 2,947 4,073
16 2,120 2,921 4,015
17 2,110 2,898 3,965
18 2,101 2,878 3,922
19 2,093 2,861 3,883
20 2,086 2,845 3,850
21 2,080 2,831 3,819
22 2,074 2,819 3,792
23 2,069 2,807 3,768
24 2,064 2,797 3,745
25 2,060 2,787 3,725
26 2,056 2,779 3,707
27 2,052 2,771 3,690
28 2,049 2,763 3,674
29 2,045 2,756 3,659
30 2,042 2,750 3,646
31 2,040 2,744 3,633
32 2,037 2,738 3,622
33 2,035 2,733 3,611
34 2,032 2,728 3,601
35 2,030 2,724 3,591
36 2,028 2,719 3,582
37 2,026 2,715 3,574
38 2,024 2,712 3,566
39 2,023 2,708 3,558
40 2,021 2,704 3,551
41 2,020 2,701 3,544
42 2,018 2,698 3,538
43 2,017 2,695 3,532
44 2,015 2,692 3,526
45 2,014 2,690 3,520
46 2,013 2,687 3,515
47 2,012 2,685 3,510
48 2,011 2,682 3,505
49 2,010 2,680 3,500
50 2,009 2,678 3,496
51 2,008 2,676 3,492
52 2,007 2,674 3,488
53 2,006 2,672 3,484
54 2,005 2,670 3,480
55 2,004 2,688 3,476
56 2,003 2,667 3,473
57 2,002 2,665 3,470
58 2,002 2,663 3,466
59 2,001 2,662 3,463
60 2,000 2,660 3,460
61 2,000 2,659 3,457
62 1,999 2,657 3,454
63 1,998 2,656 3,452
64 1,998 2,655 3,449
65 1,997 2,654 3,447
66 1,997 2,652 3,444
67 1,996 2,651 3,442
68 1,995 2,650 3,439
69 1,995 2,649 3,437
70 1,994 2,648 3,435
71 1,994 2,647 3,433
72 1,993 2,646 3,431
73 1,993 2,645 3,429
74 1,993 2,644 3,427
75 1,992 2,643 3,425
76 1,992 2,642 3,423
77 1,991 2,641 3,422
78 1,991 2,640 3,420
79 1,990 2,639 3,418
80 1,990 2,639 3,416
90 1,987 2,632 3,402
100 1,984 2,626 3,390
110 1,982 2,621 3,381
120 1,980 2,617 3,373
130 1,978 2,614 3,367
140 1,977 2,611 3,361
150 1,976 2,609 3,357
200 1,972 2,601 3,340
250 1,969 2,596 3,330
300 1,968 2,592 3,323
350 1,967 2,590 3,319
Читайте также:  Найдите площадь фигуры изображенной на координатной плоскости

Вы просмотрели статью критерий стьюдента таблица.

Ссылка на основную публикацию
Статическая и динамическая озу
Оперативная память (Random Access Memory – RAM), т.е. память с произвольным доступом, используется центральным процессором для совместного хранения данных и...
Создать новую электронную почту на яндексе бесплатно
Всем привет! С вами снова я, Алексей. В этом посте я расскажу вам о том, как создать электронную почту на...
Создать канал на ютубе регистрация бесплатно
Добрый день, уважаемые читатели и гости моего блога! Если вы попали на эту статью, значит хотите узнать, как зарегистрироваться в...
Статусы сообщений в whatsapp
Cтатусы показывают, используют ли ваши контакты WhatsApp в настоящий момент или то время, когда они были онлайн в последний раз....
Adblock detector