Примеры применения цилиндрических и сферических координат
- Услуги проектирования
- Тройной интеграл
- Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $mathbf < extit < V >> $, зависят от комбинации $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$; сферические — если эти уравнения зависят от $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$. Рассмотрим ряд примеров.
Найти объём $mathbf < extit < V >> $ общей части двух шаров, ограниченных сферами
Решение:
Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $Rfrac < sqrt 3 > < 2 >$. Объём $mathbf < extit < V >> $ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-x^2-y^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >$. Вычисления в декартовых координатах дают $V=iiintlimits_V < dv >=iiintlimits_V < dxdydz >=intlimits_ < -Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> ^ < Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> < dxintlimits_ < -sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > ^ < sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > < dyintlimits_ < R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >> ^ < sqrt < R^2-x^2-y^2 >> < dz >> > $ — достаточно громоздкие выкладки.
В цилиндрических координатах объём $mathbf < extit < V >> $ ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-r^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-r^2 >$, поэтому
В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rrcos heta Rightarrow r=2Rcos heta $, их пересечение соответствует значению $cos heta =1/2Rightarrow heta =pi /3$. В интервале $0leqslant heta leqslant pi /3 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $mathbf < extit < R >> $, в интервале $pi /3leqslant heta leqslant pi /2 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $2Rcos heta $, поэтому
В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.
Решение:
Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $mathbf < extit < V >> $ служит ось $mathbf < extit < Ох >> $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,quad y=rcos varphi ,quad z=rsin varphi ; quad I=iiintlimits_V < (x+y+z)dxdydz >=iiintlimits_V < (x+rcos varphi +rsin varphi )rdxdrdvarphi >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < rdrintlimits_r^ < 2-r^2 > < (x+rcos varphi +rsin varphi )dx >> > =$ $ =intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < left. < frac < x^2 > < 2 >>
ight|_r^ < 2-r^2 >rdr > > +intlimits_0^ < 2pi > < (cos varphi +sin varphi )dvarphi intlimits_0^1 < left. x
ight|_r^ < 2-r^2 >r^2dr > > =pi intlimits_0^1 < left( < 4-5r^2+r^4 >
ight)dr > =frac < 38pi > < 15 >. $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно < громоздкое уравнение для параболоида >.
Решение:
Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $mathbf < extit < Оz >> $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >$, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=zRightarrow r^2=rcos heta Rightarrow r=cos heta left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$ , поэтому $I=iiintlimits_V < sqrt < x^2+y^2+z^2 >dxdydz > =iiintlimits_V < rcdot r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin heta d heta >intlimits_0^ < cos heta > < r^3dr >> =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^4 >
ight|_0^ < cos heta >sin heta d heta > = \ =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos ^4 heta sin heta d heta >=-frac < 2pi > < 4cdot 5 >left. < cos ^5 heta >
ight|_0^ < pi /2 >=frac < pi > < 10 >$.
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3z,;a=const>0$
Решение:
Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам < на это указывает комбинация $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >)$. Уравнение поверхности $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3zRightarrow r^4=a^3rcos vartheta Rightarrow r=asqrt[3] < cos vartheta >;left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $mathbf < extit < Oz >> $. Находим объём: $ V=iiintlimits_V < r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin >> heta d heta intlimits_0^ < asqrt[3] < cos heta >> < r^2dr >=frac < 2pi > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^3 >
ight|_0^ < asqrt[3] < cos heta >> sin heta d heta = > $ $ =frac < 2pi a^3 > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos heta sin heta d heta = >frac < pi a^3 > < 3 >. $
Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).
Решение:
Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) или (0 le
ho le 1).
Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight) > = < < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)^2 > > = < < left( < <
ho ^2 >>
ight)^2 > = <
ho ^4 >> $
Тогда интеграл будет равен $I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < <
ho ^4 >
ho d
ho > intlimits_0^1 < dz >.$
Здесь во втором интеграле добавлен множитель (
ho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.
Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 3z,) (z = 3)
Решение:
Область интегрирования изображена на рисунке
Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ < x =
ho cos varphi , >;; < y =
ho sin varphi , >;; < z = z. >$ Дифференциал при этом равен $dxdydz =
ho d
ho dvarphi dz;;left( <
ho — ext < якобиан >>
ight).$
Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ <
ho ^2 > < cos ^2 >varphi + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi = 3z;; ext < или >;; <
ho ^2 >= 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( < x^2 >+ < y^2 >le 9) радиусом (
ho = 3).
Координата (
ho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (varphi) от (0) до (2pi) и координата (z) от (largefrac < < <
ho ^2 >> > < 3 >
ormalsize) до (3.)
Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = intlimits_ < — 2 >^2 < dx >intlimits_ < — sqrt < 4 — < x^2 >> > ^ < sqrt < 4 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < 4 — < x^2 >- < y^2 >> < < y^2 >dz > $
Решение:
Область интегрирования (U) изображена на рисунке:
Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >= < 2^2 >):
Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ < 0 le
ho le 2, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le z le 4 — <
ho ^2 >. > $
Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >> dxdydz > .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — < x^2 >- < y^2 >,) цилиндром ( < x^2 >+ < y^2 >= 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)
Решение:
Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) < область (D) >представляет собой полукруг радиусом (
ho = 2).
Найти интеграл $iiintlimits_U < ydxdydz >,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1,) ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)
Решение:
Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 le z le x + 1$ следует, что $0 le z le
ho cos varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) и ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)
Следовательно, переменные (
ho) и (varphi) изменяются в интервале $1 le
ho le 2,;;0 le varphi le 2pi .$
Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.
Найти интеграл (iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> dxdydz > ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> = 25.)
Решение:
Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $fleft( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight),$ то перейдем к сферическим координатам.
Вычислить интеграл $iiintlimits_U < < e^ < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^ < frac < 3 > < 2 >> > > > dxdydz > ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> le 1.)
Решение:
Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le heta le pi . >$
Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ < I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < < e^ < <
ho ^3 >> > <
ho ^2 >d
ho > intlimits_0^pi < sin heta d heta >> = < left[ < left. varphi
ight|_0^ < 2pi >>
ight] cdot intlimits_0^1 < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > cdot frac < 1 > < 3 >d <
ho ^3 >>
ight) > cdot left[ < left. < left( < — cos heta >
ight) >
ight|_0^pi >
ight] > = < 2pi cdot frac < 1 > < 3 >left[ < left. < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > >
ight) >
ight|_ < <
ho ^3 >= 0 > ^ < <
ho ^3 >= 1 > >
ight] cdot left( < — cos pi + cos 0 >
ight) > = < frac < < 2pi >> < 3 >cdot left( < e — 1 >
ight) cdot 2 > = < frac < < 4pi >> < 3 >left( < e — 1 >
ight). > $
Вычислить интеграл (iiintlimits_U < xyzdxdydz >,) где область (U) представляет собой часть шара ( < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >le < R^2 >,) расположенную в первом октанте (x ge 0, y ge 0, z ge 0.)
Решение:
Найти тройной интеграл $iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > > = 1.$
Решение:
Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ < x = a
ho cos varphi sin heta , >;; < y = b
ho sin varphi sin heta , >;; < z = c
ho cos heta . >$ Модуль якобиана данного преобразования равен (left| I
ight| = abc <
ho ^2 >sin heta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ < I = iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > > = < iiintlimits_ < U’ >< left[ < frac < < < < left( < a
ho cos varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < a^2 >> > + frac < < < < left( < b
ho sin varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < b^2 >> > + frac < < < < left( < c
ho cos heta >
ight) > ^2 > > > < < < c^2 >> > >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < cos >^2 > varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < sin >^2 > heta underbrace < left( < < < cos >^2 > varphi + < sin^2 >varphi >
ight) > _1 + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < <
ho ^2 >underbrace < left( < < sin^2 > heta + < < cos >^2 > heta >
ight) > _1abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = < abciiintlimits_ < U’ > < <
ho ^4 >sin heta d
ho dvarphi d heta > . > $
Вычислить интеграл $intlimits_0^1 < dx >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >- < y^2 >> > < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^2 > dz > ,$ используя сферические координаты.
Решение:
Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте и, следовательно, ограничена неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le frac < pi > < 2 >, > ;; < 0 le heta le frac < pi > < 2 >. > $
Далее:
Свойства тройного интеграла
Несобственные интегралы от неограниченной функции
Теорема Остроградского
Гармонические поля
Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Частные случаи векторных полей
Критерий полноты <формулировка>. Лемма о несамодвойственной функции
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Класс Te . Теорема о замкнутости Te
Замена переменных в тройном интеграле
Свойства потока векторного поля
Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$
Вычисление площади поверхности
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Огравление $Rightarrow $
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) — произвольная точка в пространстве xyz, P — проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел — полярные координаты точки P, z — аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
Пример 2.
где T — область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
Пример 3 Найти объём тела, ограниченного:
Имеем: x 2 +y 2 +z 2 =8 — сфера радиуса R= v8 с центром в точке O(000),
— верхняя часть конуса z 2 =x 2 +y 2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 2.20).
Найдем линию пересечения сферы и конуса:
И так как по условию z ? 0, то
— окружность R=2, лежащая в плоскости z=2.
Поэтому согласно (2.28)
где область U ограничена сверху
область U проектируется на плоскости Оху в область D — круг радиуса 2.
Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы (2.36):
Пределы изменения ц, r находим по области D v полный круг R=2 с центром в точке О, тем самым: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:
Положение точки в пространстве задают координатами, отличными от декартовых. Наиболее употребительной системой является цилиндрическая система (рис. 1.23), где r и – полярные координаты точки Р (проекции М на плоскость xОy и аппликатой z).
Координаты называются цилиндрическими. Связь этих координат с декартовыми дается формулами:
Фактически мы уже использовали цилиндрические координаты, решая пример в разд. 1.2.4 (точка лежит на поверхности цилиндра).
Другой вид координат – сферические координаты (рис. 1.24). Положение точки M задается её расстоянием R от начала координат, полярным углом проекции Р на xОy и углом между осью ОZ и радиус-вектором ОМ (точка лежит на поверхности сферы):
Связь между декартовыми (x, y, z) и сферическими координатами точки М:
Тройной интеграл в цилиндрических координатах имеет вид:
Тройной интеграл в сферических координатах:
Можно выбрать конкретный порядок интегрирования, например:
При выборе других порядков интегрирования можно записать и другие формулы.
Для сферической системы координат расстановку пределов в общем случае не будем рассматривать, а запишем, например, для тела V – сферы с центром в начале координат:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями (рис.
Решение. Тело симметрично относительно ОХ и ОY. Найдем четвертую часть объема, расположенную в первом октанте, тогда получим и весь объем.
Используем цилиндрические координаты. Уравнения поверхности , плоскости и окружности в цилиндрических координатах :
Пример 2. Найти массу лежащей в первом октанте части V шара радиуса а, если плотность в точке (x, y, z) равна: = .
Задачи для упражнений
1) Найти объём цилиндра: , Ответ:
2) Найти объём сферы: . Ответ: .
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
