Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Примеры применения цилиндрических и сферических координат
  1. Услуги проектирования
  2. Тройной интеграл
  3. Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $mathbf < extit < V >> $, зависят от комбинации $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$; сферические — если эти уравнения зависят от $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >$. Рассмотрим ряд примеров.

Найти объём $mathbf < extit < V >> $ общей части двух шаров, ограниченных сферами

Решение:

Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $Rfrac < sqrt 3 > < 2 >$. Объём $mathbf < extit < V >> $ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-x^2-y^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >$. Вычисления в декартовых координатах дают $V=iiintlimits_V < dv >=iiintlimits_V < dxdydz >=intlimits_ < -Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> ^ < Rfrac < sqrt 3 > < 2 >> < dxintlimits_ < -sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > ^ < sqrt < frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > < dyintlimits_ < R-sqrt < R^2-x^2-y^2 >> ^ < sqrt < R^2-x^2-y^2 >> < dz >> > $ — достаточно громоздкие выкладки.

В цилиндрических координатах объём $mathbf < extit < V >> $ ограничен сверху поверхностью $z=sqrt < R^2-r^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-sqrt < R^2-r^2 >$, поэтому

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rrcos heta Rightarrow r=2Rcos heta $, их пересечение соответствует значению $cos heta =1/2Rightarrow heta =pi /3$. В интервале $0leqslant heta leqslant pi /3 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $mathbf < extit < R >> $, в интервале $pi /3leqslant heta leqslant pi /2 quad mathbf < extit < r >> $ меняется от $0$ до $2Rcos heta $, поэтому

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

Решение:

Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $mathbf < extit < V >> $ служит ось $mathbf < extit < Ох >> $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,quad y=rcos varphi ,quad z=rsin varphi ; quad I=iiintlimits_V < (x+y+z)dxdydz >=iiintlimits_V < (x+rcos varphi +rsin varphi )rdxdrdvarphi >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < rdrintlimits_r^ < 2-r^2 > < (x+rcos varphi +rsin varphi )dx >> > =$ $ =intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^1 < left. < frac < x^2 > < 2 >>
ight|_r^ < 2-r^2 >rdr > > +intlimits_0^ < 2pi > < (cos varphi +sin varphi )dvarphi intlimits_0^1 < left. x
ight|_r^ < 2-r^2 >r^2dr > > =pi intlimits_0^1 < left( < 4-5r^2+r^4 >
ight)dr > =frac < 38pi > < 15 >. $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно < громоздкое уравнение для параболоида >.

Решение:

Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $mathbf < extit < Оz >> $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >$, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=zRightarrow r^2=rcos heta Rightarrow r=cos heta left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$ , поэтому $I=iiintlimits_V < sqrt < x^2+y^2+z^2 >dxdydz > =iiintlimits_V < rcdot r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin heta d heta >intlimits_0^ < cos heta > < r^3dr >> =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^4 >
ight|_0^ < cos heta >sin heta d heta > = \ =frac < 2pi > < 4 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos ^4 heta sin heta d heta >=-frac < 2pi > < 4cdot 5 >left. < cos ^5 heta >
ight|_0^ < pi /2 >=frac < pi > < 10 >$.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3z,;a=const>0$

Решение:

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам < на это указывает комбинация $mathbf < extit < x >> ^ < 2 >+mathbf < extit < y >> ^ < 2 >+mathbf < extit < z >> ^ < 2 >=mathbf < extit < r >> ^ < 2 >)$. Уравнение поверхности $left( < x^2+y^2+z^2 >
ight)^ < ,2 >=a^3zRightarrow r^4=a^3rcos vartheta Rightarrow r=asqrt[3] < cos vartheta >;left( < Rightarrow 0leqslant heta leqslant pi /2 >
ight)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $mathbf < extit < Oz >> $. Находим объём: $ V=iiintlimits_V < r^2sin heta drdvarphi d heta >=intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi intlimits_0^ < pi /2 > < sin >> heta d heta intlimits_0^ < asqrt[3] < cos heta >> < r^2dr >=frac < 2pi > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 >< left. < r^3 >
ight|_0^ < asqrt[3] < cos heta >> sin heta d heta = > $ $ =frac < 2pi a^3 > < 3 >intlimits_0^ < pi /2 > < cos heta sin heta d heta = >frac < pi a^3 > < 3 >. $

Читайте также:  Dism online cleanup image scanhealth windows 7

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).

Решение:

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >le 1) или (0 le
ho le 1).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ < left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>
ight) > = < < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)^2 > > = < < left( < <
ho ^2 >>
ight)^2 > = <
ho ^4 >> $

Тогда интеграл будет равен $I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < <
ho ^4 >
ho d
ho > intlimits_0^1 < dz >.$

Здесь во втором интеграле добавлен множитель (
ho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < < x^2 >+ < y^2 >>
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 3z,) (z = 3)

Решение:

Область интегрирования изображена на рисунке

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ < x =
ho cos varphi , >;; < y =
ho sin varphi , >;; < z = z. >$ Дифференциал при этом равен $dxdydz =
ho d
ho dvarphi dz;;left( <
ho — ext < якобиан >>
ight).$

Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ <
ho ^2 > < cos ^2 >varphi + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi = 3z;; ext < или >;; <
ho ^2 >= 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( < x^2 >+ < y^2 >le 9) радиусом (
ho = 3).

Координата (
ho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (varphi) от (0) до (2pi) и координата (z) от (largefrac < < <
ho ^2 >> > < 3 >
ormalsize) до (3.)

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = intlimits_ < — 2 >^2 < dx >intlimits_ < — sqrt < 4 — < x^2 >> > ^ < sqrt < 4 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < 4 — < x^2 >- < y^2 >> < < y^2 >dz > $

Решение:

Область интегрирования (U) изображена на рисунке:

Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >= < 2^2 >):

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ < 0 le
ho le 2, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le z le 4 — <
ho ^2 >. > $

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >> dxdydz > .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — < x^2 >- < y^2 >,) цилиндром ( < x^2 >+ < y^2 >= 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)

Решение:

Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) < область (D) >представляет собой полукруг радиусом (
ho = 2).

Найти интеграл $iiintlimits_U < ydxdydz >,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1,) ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Решение:

Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 le z le x + 1$ следует, что $0 le z le
ho cos varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) и ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Следовательно, переменные (
ho) и (varphi) изменяются в интервале $1 le
ho le 2,;;0 le varphi le 2pi .$

Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.

Читайте также:  Слои в p cad

Найти интеграл (iiintlimits_U < sqrt < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> dxdydz > ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> = 25.)

Решение:

Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $fleft( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight),$ то перейдем к сферическим координатам.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < < e^ < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^ < frac < 3 > < 2 >> > > > dxdydz > ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> le 1.)

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le 2pi , >;; < 0 le heta le pi . >$

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ < I = intlimits_0^ < 2pi > < dvarphi >intlimits_0^1 < < e^ < <
ho ^3 >> > <
ho ^2 >d
ho > intlimits_0^pi < sin heta d heta >> = < left[ < left. varphi
ight|_0^ < 2pi >>
ight] cdot intlimits_0^1 < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > cdot frac < 1 > < 3 >d <
ho ^3 >>
ight) > cdot left[ < left. < left( < — cos heta >
ight) >
ight|_0^pi >
ight] > = < 2pi cdot frac < 1 > < 3 >left[ < left. < left( < < e^ < <
ho ^3 >> > >
ight) >
ight|_ < <
ho ^3 >= 0 > ^ < <
ho ^3 >= 1 > >
ight] cdot left( < — cos pi + cos 0 >
ight) > = < frac < < 2pi >> < 3 >cdot left( < e — 1 >
ight) cdot 2 > = < frac < < 4pi >> < 3 >left( < e — 1 >
ight). > $

Вычислить интеграл (iiintlimits_U < xyzdxdydz >,) где область (U) представляет собой часть шара ( < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >le < R^2 >,) расположенную в первом октанте (x ge 0, y ge 0, z ge 0.)

Решение:

Найти тройной интеграл $iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > > = 1.$

Решение:

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ < x = a
ho cos varphi sin heta , >;; < y = b
ho sin varphi sin heta , >;; < z = c
ho cos heta . >$ Модуль якобиана данного преобразования равен (left| I
ight| = abc <
ho ^2 >sin heta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ < I = iiintlimits_U < left( < frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >
ight)dxdydz > > = < iiintlimits_ < U’ >< left[ < frac < < < < left( < a
ho cos varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < a^2 >> > + frac < < < < left( < b
ho sin varphi sin heta >
ight) > ^2 > > > < < < b^2 >> > + frac < < < < left( < c
ho cos heta >
ight) > ^2 > > > < < < c^2 >> > >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < cos >^2 > varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < sin^2 >varphi , < < sin >^2 > heta + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < left[ < <
ho ^2 > < < sin >^2 > heta underbrace < left( < < < cos >^2 > varphi + < sin^2 >varphi >
ight) > _1 + <
ho ^2 > < < cos >^2 > heta >
ight]abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = \ = < iiintlimits_ < U’ > < <
ho ^2 >underbrace < left( < < sin^2 > heta + < < cos >^2 > heta >
ight) > _1abc <
ho ^2 >sin heta d
ho dvarphi d heta > > = < abciiintlimits_ < U’ > < <
ho ^4 >sin heta d
ho dvarphi d heta > . > $

Читайте также:  Почему нет изображения в скайп

Вычислить интеграл $intlimits_0^1 < dx >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >> > < dy >intlimits_0^ < sqrt < 1 — < x^2 >- < y^2 >> > < < < left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>
ight) > ^2 > dz > ,$ используя сферические координаты.

Решение:

Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте и, следовательно, ограничена неравенствами $ < 0 le
ho le 1, >;; < 0 le varphi le frac < pi > < 2 >, > ;; < 0 le heta le frac < pi > < 2 >. > $

Далее:

Свойства тройного интеграла

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Теорема Остроградского

Гармонические поля

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Частные случаи векторных полей

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о несамодвойственной функции

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Класс Te . Теорема о замкнутости Te

Замена переменных в тройном интеграле

Свойства потока векторного поля

Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$

Вычисление площади поверхности

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Огравление $Rightarrow $

1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).

Пусть M(x, y, z) — произвольная точка в пространстве xyz, P — проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел — полярные координаты точки P, z — аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Якобиан отображения (8)

Пример 2.

где T — область, ограниченная поверхностями

Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами

Пример 3 Найти объём тела, ограниченного:

Имеем: x 2 +y 2 +z 2 =8 — сфера радиуса R= v8 с центром в точке O(000),

— верхняя часть конуса z 2 =x 2 +y 2 с осью симметрии Оz и вершиной в точке O (рис. 2.20).

Найдем линию пересечения сферы и конуса:

И так как по условию z ? 0, то

— окружность R=2, лежащая в плоскости z=2.

Поэтому согласно (2.28)

где область U ограничена сверху

область U проектируется на плоскости Оху в область D — круг радиуса 2.

Следовательно, целесообразно перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, используя формулы (2.36):

Пределы изменения ц, r находим по области D v полный круг R=2 с центром в точке О, тем самым: 0?ц?2р, 0?r?2. Таким образом, область U в цилиндрических координатах задается следующими неравенствами:

Положение точки в пространстве задают координатами, отличными от декартовых. Наиболее употребительной системой является цилиндрическая система (рис. 1.23), где r и – полярные координаты точки Р (проекции М на плоскость xОy и аппликатой z).

Координаты называются цилиндрическими. Связь этих координат с декартовыми дается формулами:

Фактически мы уже использовали цилиндрические координаты, решая пример в разд. 1.2.4 (точка лежит на поверхности цилиндра).

Другой вид координат – сферические координаты (рис. 1.24). Положение точки M задается её расстоянием R от начала координат, полярным углом проекции Р на xОy и углом между осью ОZ и радиус-вектором ОМ (точка лежит на поверхности сферы):

Связь между декартовыми (x, y, z) и сферическими координатами точки М:

Тройной интеграл в цилиндрических координатах имеет вид:

Тройной интеграл в сферических координатах:

Можно выбрать конкретный порядок интегрирования, например:

При выборе других порядков интегрирования можно записать и другие формулы.

Для сферической системы координат расстановку пределов в общем случае не будем рассматривать, а запишем, например, для тела V сферы с центром в начале координат:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (рис.

Решение. Тело симметрично относительно ОХ и ОY. Найдем четвертую часть объема, расположенную в первом октанте, тогда получим и весь объем.

Используем цилиндрические координаты. Уравнения поверхности , плоскости и окружности в цилиндрических координатах :

Пример 2. Найти массу лежащей в первом октанте части V шара радиуса а, если плотность в точке (x, y, z) равна: = .

Задачи для упражнений

1) Найти объём цилиндра: , Ответ:

2) Найти объём сферы: . Ответ: .

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Ссылка на основную публикацию
Тонны в сутки в кг в секунду
Сколько Килограмм в секунду в Метрическая тонна в сутки: 1 Килограмм в секунду = 86.4 Метрическая тонна в сутки 1...
Тарол волкова от тараканов отзывы
ЗДОРОВЬЕ И КРАСОТА ИЗ СИБИРИ Препарат нового поколения, обеспечивающий 100% эффект против тараканов и совершенно безопасный для человека и животных....
Тачки для gta sa
В этом разделе сайта вы можете скачать машины для GTA San Andreas. Пользователи очень любят скачивать моды машин именно с...
Тонер для заправки картриджей canon 725
Совместимость: Картридж Canon 728 подходит к принтерам MF-4410, 4430, 4450, 4550, 4570, 4580, 4730, 4750, 4780, 4870, 4890. Аналог —...
Adblock detector