Угловое смещение в начальный момент времени

Угловое смещение в начальный момент времени

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

Читайте также:  Новинки ps4 дата выхода

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Рассмотрим еще один вид механического движения – колебательное движение.

Колебательным называется движение, при котором система многократно отклоняясь от положения равновесия, снова в него возвращается.

Колебаниями или колебательными движениями называют движения или изменения состояния системы, обладающие той, или повторяемостью во времени.

Колебательными могут быть различные по своей природе процессы: механические, тепловые, электромагнитные.

Примерами колебательных процессов являются движение маятника часов, качели, поршня в цилиндре двигателя, морские приливы и отливы, биение сердца и др. Однако, не смотря на разнообразие, большинству из них присущи одни и те же закономерности.

Наиболее простыми для рассмотрения являются гармонические колебания.

Гармоническими называют колебания системы, происходящие по законам синуса или косинуса.

В качестве примеров рассмотрим колебания пружинного (рис. 9 а ) и математического (рис. 9 б ) маятников:

; ;

Рис.9 а Рис. 9 б

Отличительной особенностью колебательного движения является его повторяемость со временем, или периодичность.

Периодические колебания выражаются в общем случае следующей функцией

,

где — Тпериод – наименьшее время повторения колебаний; n – целое число.

В качестве функции обычно выступает смещение системы от положения равновесия .

Кинематическое уравнение смещения системы, совершающей гармонические колебания, имеет вид:

, (5)

где А – это амплитуда, или наибольшее смещение системы от положения равновесия.

Величина называется фазой колебания, она определяет смещение в данный момент времени.

Фаза – это угловая мера времени, прошедшего с начала колебаний.

начальная фаза – угловая величина, определяющая смещение в начальный момент времени (рис. 9 б ). График функции изображен на (рис. 10).

Рис. 10 а Рис. 10 б

Дата добавления: 2017-01-16 ; просмотров: 1315 ;

Читайте также:  Поиск по сайту на андроид

2018-05-31
Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины 80 см, если в начальный момент маятник:
а) отклонили на угол $3,0^< circ>$ и без толчка отпустили;
б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость 0,22 м/с;
в) отклонили на $3,0^< circ>$ и его нижнему концу сообщили скорость 0,22 м/с, направленную к положению равновесия.

Угловая частота математического маятника равна $omega_ <0>= sqrt$
(а) Мы имеем решение уравнение гармонических колебаний в угловой форме:

$ heta = heta_ cos ( omega_ <0>t + alpha)$

Если в начальный момент, т.е. При $t = 0, heta = heta_$, тогда $alpha = 0$.

Таким образом, приведенное выше уравнение имеет вид

$ heta = heta_ cos omega_<0>t = heta_ cos sqrt< frac> t = 3^ < circ>cos sqrt< frac<9,8> <0,8>>t$

Итак, $ heta = 3^ < circ>cos 3,5 t$

(б) уравнение гармонических колебаний в угловой форме:

$ heta = heta_ sin ( omega_<0>t + alpha)$

Если в начальный момент времени $t = 0, heta = 0$, то $alpha = 0$. Тогда приведенное выше уравнение примет вид

$ heta = heta_ sin omega_<0>t$

Пусть $v_<0>$ — скорость нижнего конца маятника при $ heta = 0$, затем из закона сохранения энергии осциллятора

или, $frac<1> <2>mv_<0>^ <2>= mgl (1 — cos heta_ )$

Таким образом, $ heta_ = cos^ <-1>left ( 1 — frac<0>^ <2>> <2gl>
ight ) = cos^ < -1>left ( 1 — frac <0,22^<2>> <2 cdot 9,8 cdot 0,8>
ight ) = 4,5^< circ>$

Таким образом, искомое уравнение

$ heta = heta_ sin omega_ <0>t = 4,5^ < circ>sin 3,5 t$

(в) Пусть $ heta_<0>$ и $v_<0>$ — угловое отклонение и линейная скорость при $t = 0$.
Поскольку механическая энергия колебаний математического маятника подчиняется закону сохранения энергии, то

$frac<1> <2>mv_<0>^ <2>+ mgl (1 — cos heta_<0>) = mgl (1 — cos heta_)$

Читайте также:  Генератор названий футбольных команд

или, $frac<0>^ <2>> <2>= gl ( cos heta_ <0>- cos heta_ )$

Таким образом, $ heta_ = cos^ < -1>left ( cos heta_ <0>- frac<0>^ <2>> <2gl>
ight ) = cos^ <-1>left ( cos 3^ < circ>- frac < 0,22^<2>> <2 cdot 9,8 cdot 0,8 >
ight ) = 5,4^< circ>$

Ссылка на основную публикацию
Тонны в сутки в кг в секунду
Сколько Килограмм в секунду в Метрическая тонна в сутки: 1 Килограмм в секунду = 86.4 Метрическая тонна в сутки 1...
Тарол волкова от тараканов отзывы
ЗДОРОВЬЕ И КРАСОТА ИЗ СИБИРИ Препарат нового поколения, обеспечивающий 100% эффект против тараканов и совершенно безопасный для человека и животных....
Тачки для gta sa
В этом разделе сайта вы можете скачать машины для GTA San Andreas. Пользователи очень любят скачивать моды машин именно с...
Тонер для заправки картриджей canon 725
Совместимость: Картридж Canon 728 подходит к принтерам MF-4410, 4430, 4450, 4550, 4570, 4580, 4730, 4750, 4780, 4870, 4890. Аналог —...
Adblock detector