Уравнение нормальной плоскости к кривой

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. 2 стр.

Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой. 3 стр.

1.2Соприкасающаяся плоскость в произвольной и в выбранной точке..4 стр.

Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке. 5 стр.

1.3 Кривизна и кручение в выбранной и произвольной точке. 6 стр.

Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке. 7 стр.

1.4 Построение кривой. 9 стр.

2.Поверхности Евклидова пространства.

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности. 10 стр.

Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке. 11 стр.

2.2 Первая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. 14 стр.

Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке. 15 стр.

2.3 Вторая квадратичная форма в выбранной и произвольной точке. 17 стр.

Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке. 19 стр.

2.4 Полная и средняя кривизна поверхности. 22 стр.

Вычисление полной и средней кривизны поверхности. 23 стр.

2.5 Изображение поверхности. 24 стр.

3.Список использованной литературы. 25 стр.

1.Кривые Евклидова пространства

Нам даны параметрические координаты кривой: x= , y=,z=-. Найдем на ее примере касательную прямую, нормальную плоскость, кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке. Построим кривую.

1.1 Касательная прямая и нормальная плоскость прямой в произвольной и в выбранной точке.

Вектор () является вектором касательной кривойв точке. Обозначим точку кривой, соответствующую значению параметра, черезP, т.е. P=P. Плоскость, проходящая через точку P кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке. По вектору=и точкеP запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

+=0.

Практическая часть нахождения касательной прямой и нормальной плоскости кривой

Применим все вышесказанное к нашей кривой: найдем касательную прямую и нормальную плоскость в произвольной и выбранной точке.

В уравнение касательной прямой:

подставим наши координаты: x, y и z вместо ,исоответственно, и производныевместо, получим:

Мы получили уравнение касательной прямой в общем виде, теперь найдем уравнение прямой в выбранной точке, приняв :

Нами получено уравнение касательной прямой в выбранной точке. Теперь найдем уравнение нормальной плоскости кривой, по аналогии с нахождением уравнения касательной прямой, подставив в формулу:

+=0

+=0.

Уравнение нормальной плоскости кривой в произвольной точке найдено. Напишем уравнение в выбранной точке, напомню, что . В итоге получаем:

+=0.

Нами получено уравнение нормальной плоскости кривой в выбранной точке.

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M(x,y,z) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z = f’_x(x,y,z)(x — x) + f’_y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 0 , y = 1 , тогда z = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М(x, y, z), принадлежащей ей, если x = –1, y = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М(x, y, z) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z, подставив заданные x = –1 и y = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х, y) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x,y,z).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z = f’_x(x,y,z)(x — x) + f’_y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 1, y = 2, тогда z = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Определение. Пусть — некоторая кривая, P — точка на ней. Выберем близкую к ней точку Q. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q — P секущая стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть — некоторая кривая, P — точка на ней, а l — некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку Q. Обозначим d = PQ, — расстояние от Q до l. Если = 0, то прямая l называется касательной к кривой в точке P.

Теорема 1. Гладкая класса C 1 (т.е. регулярная) кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c(t) — гладкая регулярная параметризация кривой , P = c(t_o), Q = c(t) — близкая к P точка. Тогда

= c(t) — c(t_o) , d = = c(t) — c(t_o).

Пусть l — некоторая прямая, проходящая через P, — единичный направляющий вектор этой прямой, а — угол между и . Тогда

(мы домножили на , т. к. =1). Отсюда

Перейдем в этом равенстве к пределу при d — 0 t — t_o:

Значит, равенство нулю этого предела равносильно c(t_o) = c(t_o) . Таким образом, прямая l будет касательной вектор c(t_o) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c(t_o) , а значит, касательная прямая существует и однозначно определяется данным вектором и точкой P = c(t_o).

Пусть кривая задана уравнением = c(t).Из теоремы вытекает, что касательная к , проходящая через точку P(x_o, y_o, z_o) = c(t_o), задается уравнением

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

Пусть = c(t) — параметрическое уравнение этой же кривой; в развёрнутом виде:

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

Продифференцируем его по t:

Обозначим grad F = . Тогда равенство () равносильно (grad F) · c(t) 0.

Это означает, что в каждой точке P=c(t_o) на кривой вектор градиента grad_PF, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c(t_o), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:

где все производные вычисляются в точке P(x_o, y_o).

Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y — f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

Определение. Любая прямая, проходящая через точку P, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве-то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой в точке P.

Пусть = c(t) — параметрическое уравнение кривой, P(x_o, y_o, z_o) = = c(t_o). Тогда вектор c(t_o) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит уравнение этой плоскости имеет вид:

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор grad_PF будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали: