Уравнение пучка плоскостей проходящих через прямую

Уравнение пучка плоскостей проходящих через прямую

Пусть уравнения данной прямой суть:

Составим уравнение первой степени:

которое при любом значении постоянного К определяет плоскость.

Если точка лежит на данной прямой линии, то ее координаты одновременно удовлетворяют обоим уравнениям этой прямой и, следовательно, уравнению (15) при любом значении X. Таким образом, уравнение (15) определяет плоскости, проходящие через данную прямую. Обратно, всякая такая плоскость определяется одной точкой лежащей вне данной прямой линии; значение постоянного X, соответствующее этой плоскости, найдется из условия

если только Таким образом, уравнение (15) при соответствующем выборе X определяет любую плоскость, проходящую через данную прямую, за исключением лишь одной из данных плоскостей, именно плоскости

Называя пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую, мы можем сказать, что уравнение (15) является уравнением пучка плоскостей, так как оно определиет все плоскости пучка (кроме второй из данных плоскостей).

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

Уравнение любой плоскости, проходящей через данную прямую, имеет вид:

Условие прохождения этой плоскости через точку (1, 1, — 1) дает:

Подставляя это значение к в уравнение пучка плоскостей, получим;

В данной статье мы рассмотрим понятие пучка прямых. Представим уравнение пучка прямых. Приведем примеры нахождения уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку.

Пучком прямых называется множество прямых, проходящих через данную точку P. P называется центром пучка прямых . Две разные прямые в пучке прямых определяют центр пучка прямых.

Найдем уравнение пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух прямых (Рис.1):

A1x+B1y+C1=0 (1)
A2x+B2y+C2=0. (2)

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть (1) и (2) уравнения двух прямых, пересекающихся в точке P, а λ1 и λ2 некоторые числа, которые одновременно не равны нулю. Тогда

Читайте также:  25 Значный код для microsoft office 2007
λ1(A1x+B1y+C1) +λ2(A2x+B2y+C2)=0. (3)

является уравнением прямой, проходящей через точку P. Обратно, любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3), при некотороых числах λ1 и λ2.

Доказательство. Во первых покажем, что уравнение (3) является линейным уравнением (уравнением первого порядка), т.е. уравнением, при котором коэффициент при x или y не равен нулю.

Группируем коэффициенты при x и y:

(λ1A1+λ2A2)x+(λ1B1+λ2B2)y+(λ1C1+λ2C2)=0 (4)
λ1A1+λ2A2=0, λ1B1+λ2B2=0. (5)

Тогда, например при λ1≠0 (по условию теоремы хотя бы один из чисел λ1 и λ2 не равен нулю), получим:

(6)
. (7)

Полученное равенство является условием параллельности прямых, определяемых уравнениями (1) и (2), что противоречит условию теоремы (эти прямые пересекаются и не совпадают). Таким образом хотя бы один из равенств (5) не выполняется, т.е. хотя бы один коэффициент при x и y в уравнении (4) не равен нулю. Отсюда следует, что уравнение (4) является линейным уравнением (уравнением первой степени) и является уравнением некоторой прямой. По условию теоремы, эта прямая проходит через точку P(x, y), которая является пересечением прямых (1) и (2), т.е. выполняются равенства:

(8)

Из уравнениий (8) следует, что при любых λ1 и λ2:

λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0,

т.е. уравнение (3) проходит через точку P.

Докажем вторую часть теоремы. Покажем, что любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ1 и λ2.

Возьмем некоторую прямую проходящую через точки P и M’(x’, y’). Покажем, что данная прямая определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ1 и λ2, не равных одновременно нулю.

В первой части доказательства теоремы мы показали, что прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3). Теперь, если эта прямая проходит через еще одну точку M’(x’, y’), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3):

Читайте также:  Сколько байтов займет слово извините
λ1(A1x’+B1y’+C1)+λ2(A2x’+B2y’+C2)=0, (9)

Заметим, что выражения в скобках не могут быть равным нулю одновременно, т.к. это означало бы, что оба уравнения проходят через точки P и M’(x’, y’) и, следовательно, совпадают. Пусть, например, λ1(A1x’+B1y’+C1)≠0. Тогда задав λ2 произвольное число, отличное от нуля, решим (9) относительно λ1:

Пример 1. Пучок прямых задан уравнениями:

2x+3y−1=0 (10)
x−4y+2=0. (11)

Найти уравнение прямой из пучка прямых, проходящий через точку M(−3, 1).

Решение. Уравнение пучка прямых, заданных прямыми (10) и (11) имеет следующий вид:

λ1(2x+3y−1)+λ2(x−4y+2)=0. (12)

Подставим координаты точки M в уравннение (12):

λ1(2·(−3)+3·1−1)+λ2(−3−4·1+2)=0. (13)
λ1(−4))+λ2(−5)=0.
−5(2x+3y−1)+4(x−4y+2)=0. (14)

Упростив уравнение (14), получим уравнение из пучка прямых проходящих через точку M(−3, 1):

−6x−31y+13=0.
−6x−31y+13=0.

Пример 2. Построить уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

Решение. Возьмем две различные точки, не совпадающие с точкой M: M1(2,1), M2(−1,3). Построим уравнение, проходящие через точки M и M1. Нормальный вектор n1 этой прямой должен быть ортогональным вектору , равному разностьям координат точек M и M1: =<2−4, 1−1>=<−2,0>. Т.е. можно взять n1=<0,1>. Тогда уравнение прямой с нормальным вектором n1, проходяще через точку M имеет следующий вид:

0(x−4)+1(y−1)=0
y−1=0. (15)

Построим уравнение проходящее через точки M и M2. =<−1−4, 3−1>=<−5,2>. Возмем в качестве нормального вектора второго уравнения n2=<2, 5>. Тогда второе уравнение имеет слеждующий вид:

2(x−4)+5(y−1)=0
2x+5y−13=0. (16)

Из уравнений (15) и (16) можно записать уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

λ1(y−1)+λ2(2x+5y−13)=0.
λ1(y−1)+λ2(2x+5y−13)=0.
Читайте также:  Источники тв программы для iptv

Заметим, что взяв другие точки M1 и M2, мы получим уравнение того же пучка прямых, но с другими двумя прямыми.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую

Точка пересечения прямой и плоскости

Даны уравнения прямой и плоскости:

.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновременно удовлетворять этим уравнениям.

1) Выражая две переменных через третью из уравнений прямой и подставляя их в уравнение плоскости, получим уравнение для одной переменной и найдем точку пересечения прямой и плоскости.

2) Можно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

,

тогда подстановка переменных в уравнение плоскости P, позволяет найти значение параметра для координат точки пересечения прямой и плоскости.

3) Если прямая задана общими уравнениями, точка пересечения может быть найдена как решение системы из трех уравнений.

Пусть прямая задана линией пересечения двух плоскостей:

Возьмем любые отличные от нуля числа и составим равенство

Это равенство определяет плоскость, которая проходит через ту же прямую, так как каждая тройка чисел (x, y, z) удовлетворяет этим двум равенствам. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить , то уравнение

определяет все плоскости пучка, кроме второй из плоскостей, задающих прямую.

Угол между прямой и плоскостью,

(– угол между вектором нормали к плоскости и направляющим вектором прямой):

.

Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 370 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Умный браслет с функцией измерения давления
Вы посвящаете свою жизнь спорту или просто стараетесь всеми возможными способами следить за своим здоровьем? Придерживаетесь того, что во время...
Тонны в сутки в кг в секунду
Сколько Килограмм в секунду в Метрическая тонна в сутки: 1 Килограмм в секунду = 86.4 Метрическая тонна в сутки 1...
Тонер для заправки картриджей canon 725
Совместимость: Картридж Canon 728 подходит к принтерам MF-4410, 4430, 4450, 4550, 4570, 4580, 4730, 4750, 4780, 4870, 4890. Аналог —...
Умный выключатель zigbee aqara
Протокол передачи данных в домашних системах автоматизации. Реле Xiaomi Aqara Xiaomi Aqara wireless relay Систему "Умного дома" сложно представить без...
Adblock detector