Уравнения неразрешенные относительно производной матпрофи

Уравнения неразрешенные относительно производной матпрофи

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то 1" style="width:57px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -362px -390px;"> .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2) .
Из уравнения (1) следует, что 0" style="width:62px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -300px -390px;"> .
Поэтому при 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , 0" style="width:51px;height:20px;vertical-align:-10px;background-position: -446px -247px;"> . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3) .
Поскольку верхний знак “+” относится к 1" style="width:46px;height:14px;vertical-align:-7px;background-position: -452px -0px;"> , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
.
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
; или .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.

Общего метода решения уравнений, неразрешимых относительно производной, нет. Если дифференциальное уравнение Р(х,у,у¢) = 0 разрешимо либо относительно искомой функции у = f(x.y’), либо относительно аргумента х = f(y,y¢), то оно может быть проинтегрировано путем введения параметра р = у’. Исходное уравнение перейдет в алгебраическое, дифференцируя соответственно по х или по у, получим системы уравнений

или

решения которых находятся в явном иди параметрическом виде.

Рассмотрим, например, уравнение Лагранжа

Введением параметра р=у’ уравнение Лагранжа приводится к виду у = хf(р)+j(р). Дифференцируя по х, получим

или, после замены у’ через р и алгебраических преобразований,

Это линейное уравнение относительно х и производной .

Его общий интеграл имеет вид Ф(х,р,С)=0. Совместно с уравнением

он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если р-f(р)¹0. Корни уравнения p-f(p)=0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.

Пример 1:

Найти общий интеграл уравнения:

Решение:

Разлагая левую часть уравнения на множители получим:

откуда и . Оба эти уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их общие интегралы:

, .

Поэтому общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

Пример 2:

Найти общее решение уравнения в параметрической форме.

Решение:Положим ; тогда . Равенство

перепишем в форме , так как

]

то, следовательно, . Общее решение запишется так:

Пример 3:

Найти общее решение уравнения .

Читайте также:  Обучение работе в autocad

Решение:

Положим ; тогда . Из равенства находим . Та как , то и . В параметрической форме общее решение запишется так:

Исключим параметр p. Для этого из первого уравнения находим t и подставляем во второе. Имеем и .

Пример 4:

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Положим, что . Тогда , или . Продифференцировав по x, имеем

.

После несложных преобразований получим , или

Произведя потенцирование, находим: . Следовательно, общее решение в параметрической форме примет вид:

Исключим параметр p. Для этого найдем выражение

ти подставим в уравнение . Таким образом, общее решение .

Пример 5:

Найти общее решение уравнения , где .

Решение:

Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:

Для получения особого решения найдем Система уравнений

представляет собой особое решение в параметрической форме.Исключим параметр p. Для этого возведем обе части второго уравнения в квадрат и разделим их на соответствующие части первого уравнения; получим , откуда . Геометрически общее решение представляет собой однопараметрического семейство прямых , а особый интеграл параболу.

Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл (парабола) оказался геометрически огибающей семейства интегральных линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не случайно.

Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и единственность решений – не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному тому же начальному условию. Были рассмотрены случаи, когда эти условия нарушались только в отдельных особых точках. Между тем условия единственности могут нарушаться во всех точках некоторой линии, которая сама может оказаться решением уравнения. Это решение и называют особым.

= 0 таковы точки •] Дискриминантная кривая. Из сказанного вытекает, что если для уравнения (36) с F € С1 в точке (®о,Уо) нарушается единственность, то при некотором у выполняются два условия Так как у’0 заранее не известно, то для отыскания точки (жо, Уо) надо из уравнений (40) исключить у’0. Получим уравнение У>(яо,Уо) = 0, определяющее некоторое множество на плоскости х, у. Это множество называется дискриминантной кривой. Дискриминантная кривая содержит все точки нарушения единственности, но может содержать и некоторые другие точки. Решение примера. Для этого пишем два уравнения (40) Из второго уравнения имеем у’ = 0. Подставляя в первое, находим дискриминантную кривую 4у3(1 -у) = 0. Имеем две ветви: у = 0 и у = 1. В нашем случае они обе являются решениями данного дифференциального уравнения. Чтобы выяснить, где нарушается единственность, найдем другие решения. Из данного уравнения имеем . Решая эти уравнения с разделяющимися переменными, получаем решения (рис. 7) Уравнения, не разрешенные относительно производной На прямой у = 0 не нарушается единственность, а на прямой у= 1 — нарушается. В отличие от рассмотренного примера далеко не всегда дискриминантная кривая является решением. I Пример б. Найдем дискриминантную кривую для уравнения i Решение примера. Здесь Ис-ключая , получаем дискриминантную кривую у = 0. Она не является решением данного уравнения. Найдем другие решения. Из данного уравнения, как из квадратного, получаем Так как • Решая это уравнение с разделяющимися переменными, находим у ± = а: + с (рис.8). Дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения интегральных кривых. Особым решением называется такое решение, в каждой точке которого его касается другое решение, отличное от рассматриваемого решения в сколь угодно малой окрестности этой точки. В примере 5 особым является решение у = 1, в примерах 4 и 6 особых решений нет. Так как в каждой точке особого решения нарушается единственность, то особое решение, если оно есть, содержится в дискри- У • Рис.8 минантной кривой. Поэтому для отыскания особого решения уравнения F(x,y9y’) = 0 (с функцией F класса С1) сначала надо найти дискриминантную кривую. Но она не всегда является особым решением, даже если является решением, см. пример 5. Поэтому каждую ветвь дискриминантной кривой надо проверить: 1) является ли она решением, то есть удовлетворяет ли она данному уравнению; 2) касаются ли ее в каждой точке другие решения. Если на оба вопроса ответы положительные, то рассматриваемая ветвь является особым решением. Проверка того, касаются ли две кривые проводится с помощью условия касания: кривые касаются друг друга в некоторой точке, если в этой точке Задачи для упражнений: [12], § 8, № 241-266. Огибающая. Понятие особого решения связано с известным из дифференциальной геометрии понятием огибающей. Огибающей семейства кривых называется кривая ИГ, в каждой своей точке касающаяся кривой семейства, отличной от кривой К в любой окрестности этой точки. Теорема 9. Линия у = тр(х) является особым решением уравнения F(x, у, у’) = 0 тогда и только тогда, когда она является огибающей семейства решений этого уравнения. Доказательство. Пусть линия у = х) — особое решение. Тогда в каждой своей точке она касается другого решения. Следовательно, эта линия — огибающая семейства решений. Пусть линия у = гр(х) — огибающая семейства решений. Тогда в каждой своей точке (ж, у) она касается какого-либо решения. Значит, в этой точке числа ж, у, у* для линии у = ip(x) те же, что для этого решения. Но решение удовлетворяет уравнению F(x9 у, у’) = 0, поэтому и огибающая тоже удовлетворяет этому уравнению в точке (ж, у). Эта точка — произвольная на огибающей, значит, огибающая есть решение уравнения. Это решение в каждой своей точке касается другого решения, следовательно, является особым. Для отыскания огибающей семейства линий , как известно из дифференциальной геометрии, надо исключить с из уравнений и проверить, касается ли полученная линия в каждой своей точке какой-либо линии семейства (например, с помощью условия касания (41)). 1 Задачи для упражнений: (12], § 8, № 297 а-г. 13«| Методы решения уравнений вида F(x, у, у*) = 0. А. Разрешить уравнение относительно у’, то есть из данного уравнения выразить у’ через х и у. Получается одно или несколько уравнений вида у’ = /(ж, у). Каждое из них надо решить. Этим методом решались уравнения в примерах 4-6. Б. Метод введения параметра. Он позволяет свести уравнение F(x, у, у’) = 0 к уравнению, разрешенному относительно производной. Излагаемый ниже простейший вариант этого метода применим в случае, когда уравнение F(x, у, у1) = 0 удается разрешить относительно у или относительно х, то есть записать в виде у = f(x9 у’) или в виде х = /(у, у’). В уравнение у = f(x, у’) вводим параметр р = dy/dx и получаем Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и, чтобы исключить у, заменяем dy на pdx (так как р = dy/dx). Последнее уравнение можно разрешить относительно dx/dp или относительно dp/dx. Если решение этого уравнения найдено в виде х = у>(р), то, подставляя это в (42), получаем решение исходного уравнения в параметрической записи: х Этим же методом решаются уравнения вида х = /(у, у’). Пример 7. Решить уравнение Решение примера. Вводя параметр р = у*, получаем Уравнения, не разрешенные относительно производной Берем полный дифференциал от обеих частей равенства. Получаем dy = р dx + х dp + 2р dp. Так как dy = р dx, то имеем Надо рассмотреть два случая: х + 2р = 0 или dp = 0. ‘ Если ж+2р = 0, то х = -2р. Подставляя это в (43), получаем решение в параметрическом виде: х = -2р, у = -р2. Исключая р, имеем у = -ж2/4. Если dp = 0, то р = с (произвольная постоянная). Подставляя в (43), получаем решение у = с® + с2 — семейство непараллельных прямых (для каждой прямой угловой коэффициент с — свой). Исследуем, является ли решение у = -ж2/4 особым. Пишем для решений у = -ж2/4 и у = сж + с2 условия касания (41): Подставляя с = -ж/2 в первое равенство, получаем -ж2/4 = -ж2/2+ж2/4 — тождество. Значит, решение в каждой точке х касается одного из решений у = сж-fc2. Следовательно, решение у = -ж2/4 — особое (рис.9). Другие варианты метода введения параметра изложены в [9], гл. 3, § 2, пример 5 и §3, п. 1 — введение двух параметров; также [13], гл. 1, §8; [2], гл.1, §7. Уравнения Клеро имеют вид Они решаются методом введения параметра. Этому классу принадлежит уравнение примера 7. Общее решение уравнения Клеро — семейство непараллельных прямых. Если функция гр € С2 и нелинейна, то уравнение Клеро имеет особое решение — кривую, которой касаются эти прямые. Если же функция гр линейна, то прямые проходят через одну точку и особого решения нет. i Задачи для упражнений: [12], § 8, № 267-296. | 4« | В общем случае дискриминантная кривая разбивает плоскость х, у на области. В такой области выполняются условия следствия теоремы 8 и через каждую точку проходит одно и то же число решений. Расположение решений вблизи дискриминантной кривой может быть различным. Известно ((18], гл. 1, §4), что типичным является случай, когда дискриминантная кривая состоит из точек возврата интегральных кривых, как на рис. 8. Кроме того, на дискриминантной кривой могут быть особые точки, вблизи которых интегральные кривые идут иначе, чем вблизи других точек дискриминантной кривой, см. (19], гл. 1, §7. Глубокие исследования таких особенностей провел А. А. Давыдов.

Читайте также:  Как сделать запись видео с экрана компьютера

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

Ссылка на основную публикацию
Умный браслет с функцией измерения давления
Вы посвящаете свою жизнь спорту или просто стараетесь всеми возможными способами следить за своим здоровьем? Придерживаетесь того, что во время...
Тонны в сутки в кг в секунду
Сколько Килограмм в секунду в Метрическая тонна в сутки: 1 Килограмм в секунду = 86.4 Метрическая тонна в сутки 1...
Тонер для заправки картриджей canon 725
Совместимость: Картридж Canon 728 подходит к принтерам MF-4410, 4430, 4450, 4550, 4570, 4580, 4730, 4750, 4780, 4870, 4890. Аналог —...
Умный выключатель zigbee aqara
Протокол передачи данных в домашних системах автоматизации. Реле Xiaomi Aqara Xiaomi Aqara wireless relay Систему "Умного дома" сложно представить без...
Adblock detector